Chapter 5. Approximation (3)计算E) E)H wr fvds =-e wor xwds=0 上式积分等于0，是因为被积函数为奇函数所致。 (4)计算能量二级修正 欲计算能量二级修正，首先应计算H”kn矩阵元。 HiwH'vd=-ee wrxvde 利用线性谐振子本征函数的递推公式： xy0=Vy9+V变w09] 26
Chapter 5. Approximation 26 （3）计算 En(1) 0 ˆ )1( )0()*0( )0()*0( = ′ ψ= ′ =ψψε−=ψ ∫ ∫ ∞∞− ∞∞− HE edxH dxx n nn n n nn 上式积分等于0 ,是因为被积函数为奇函数所致。 (4)计算能量二级修正 欲计算能量二级修正，首先应计算 H’k n 矩阵元。 Hkn k n edxH k n dxx ˆ )0(*)0( )0(*)0( ψψ ψψε ∫ ∫ ∞∞− ∞∞− ′ = ′ −= 利用线性谐振子本征函数的递推公式： [ ])0( 2 1 )0( 1 2 1 )0( 1 + + − += n n n n n xψ α ψψ
Chapter 5.Approximation Hin=-eevilvld =-ecilf vorviv在+gVy] =-glV2δ-1+V空δ+1】 代入 = 1上VB8+学6l k k≠ E9-E0 =() kn Em-E0l片dim1+学6nl 1 对谐振子有： () .+ En(0)-En-1)=h, E0-E9 +1 E)E() =-hw, 27
Chapter 5. Approximation 27 eH dx n n n n kn k [ ] )0( 2 1 )0( 1 2 1 *)0( 1 + + − ∞∞− ′ −= + ∫ ψε α ψ ψ [ ] )0( 2 1 )0( *)0( 1 2 1 1 *)0( e dx n dx n n k n k + + ∞∞− − ∞ ∫ ∞− ∫ −= α ψψε + ψψ [ ] 2 1, 1 2 1, + + −= − + nk n nk ne δ δ αε )0()0( 2 )2( || kn kn nk n EE H E − ′ =∑ ≠ )0()0( 2 2 1. 1 2 1, [| |] kn nk n nk ne nk − EE − + = + + − ≠ ∑ δ δ αε [ ] 1 )( 2 1. 1 )0()0( 2 1, 2 + + − ≠ + − = ∑ nk n nk n nk kn e EE δδ αε ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − + − = + + − )0( 1 2 )0( 1 )0( 1 2 )0( 2 1 1 )( nn n nn ne EEEE αε 对谐振子有； En(0) - En-1(0) = =ω, En(0) - En+1(0) = - =ω, 代入
Chapter 5. Approximation E2=(贤。+"学】=-()} a2=增 e2e2 由此式可知，能级移动与n无关， 2ua? 即与扰动前振子的状态无关， =召 H'kn E-E) E9-E04 +1 +1 =e (n≥1) 28
Chapter 5. Approximation 28 [)( ] 1 2 1 1 2 )2( 2 α ω ω ε = −= + = + nne En = ∵ =μω ωαε −= α =2 2 2 1 )( e 2 22 2μω e ε −= 由此式可知,能级移动与n无关, 即与扰动前振子的状态无关. )0( )0()0( )1( k kn kn nk n EE H ψ ψ − ′ =∑ ≠ )0( )0()0( 2 1, 1 2 1, [ ] k kn nk n nk ne nk EE ψ δ δ αε − − + = + + − ≠ ∑ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − + − −= + + + − − )0( )0( 1 1 2 )0( )0( 1 )0( 1 1 2 )0( 1 1 n nn n n nn ne EE EE α ψ ψ ε ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − −= + + + − )0( 2 1 )0( 1 2 1 1 1 n n n ne ψω ψω αε = = (0) (0) 3 1 1 1 1 , 2 n n e nn ε ψψ μω + − = +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ( n≥1 )
Chapter 5.Approximation (⑥)讨论： 1.电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元 E=<nl升|n>=es<nx ni> =e6<列2la+a]n> -i+创] =es2K川an>+<nl位ln>】 创>nln-l> a n>n+l n+l> =-e6 Nn<nn-1>+n+1<nn+1> =0 29
Chapter 5. Approximation 29 (6)讨论： 1.电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元 n =< ′|nHnE > ˆ | )1( =− ε < || nxne > >+<−= + [| ˆˆ |] naane 21 α ε |[ ˆ || ˆ ]| 21 ><+><−= + nannane α ε ]1|11|[21 nnnnnne >+<++>−<−= α ε = 0 [ ˆˆ ] 21 + += aax α >++>= >−>= +ˆ 1|1| ˆ 1|| nnna nnna
Chapter 5.Approximation 计算二级修正： Him =<ml r'n>=-es<mx]n>=-ee<ml dlata'lln> =-e8 kman>+<ma n=-e6 ln<m n-1>+/n+1<m n+1> =-es n+n+18m.l 代入能量二级修正公式： -g云-32-t* e'e2 EO-EO 2uo2 2.电谐振子的精确解 2+μo'r2-eex 30
Chapter 5. Approximation 30 计算二级修正： mn ′ =< ′ | nHmH > ˆ | =− ε < || nxme > >+<−= + [| ˆˆ |] naame 21 α ε |[ ˆ || ˆ ]| 21 ><+><−= + namname α ε ]1|11|[21 nmnnmne >+<++>−<−= α ε [ 1, 1, ]1 2 1 −= α δε nm − nne ++ δ nm + 代入能量二级修正公式: )0()0( 2 )2( || mn mn nm n EE H E − ′ =∑ ≠ )0()0( 2 2 1, 1, 1 [| |]1 mn nm nm nm EE nne − − ++ = − + ≠ ∑ δε δ α 222 2μω e ε −= 2. 电谐振子的精确解 xex dx d H ε−μω+ μ −= 22 2 1 2 22 2 ˆ =