Chapter 5.Approximation °：i0Iy0>=E0Iy0> λ：)w9>+0Iy0)>=EoIy9>+E"Iyo> 2:户o1y2>+0IΨ9>=E0IΨ2>+E91vW">+E21v9> 整理得： [io)-E0]lv9>=0 [A-E]w >=-[f0-EO]w> [io)-E]IΨ2>=-[A0-E0]IΨ0>+E2)IΨ0> 上面的第一式就是Ho)的本征方程，第二、三式分别是 |中，()>和中，②)>所满足的方程，由此可解得能量 和态矢的第一、二级修正。 11
Chapter 5. Approximation 11 """""""""""""""""""""""" " | | | | ˆ | ˆ : | | ,| ˆ | ˆ : | | ˆ : )2()0(2 )0()2()1()1()2()0()1()1( )1()0(1 )0()1()1()0()0()1( )0()0()0()0(0 >ψ+>ψ+>ψ>=ψ+>ψλ >ψ+>ψ>=ψ+>ψλ >ψ>=ψλ n n nn nn nn n n nn nn n nn H H E E E H H E E H E 整理得: ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧ >ψ+>ψ−−>=ψ− >ψ−−>=ψ− >=ψ− """""""""""""""""""""" )2()0()0( )1()1()1( )0()2( )1()0()0( )0()1()1( )0()0()0( |] | ˆ [|] ˆ [ |] ˆ [|] ˆ [ 0|] ˆ [ n n n n nn n n n n n n EH EH E EH EH EH 上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分别是 |ψn (1) >和|ψn (2)>所满足的方程，由此可解得能量 和态矢的第一、二级修正
Chapter 5. Approximation (二)能量和态矢的一级修正 微扰论的任务：借助于未微扰体系的态矢|业o)>和本 征能量E.o)来导出扰动后的态矢|业n>和能量E,的表达式。 (1)能量一级修正入E。1) 根据力学量本征矢的完备性假定，Ho)的本征矢|业，o)>是 完备的，任何态矢量都可按其展开，|中。①)>也不例外。因此我 们可以将态矢的一级修正展开为： a1> 代回前面的第二式并计及第一式得： a①=〈中k0|中n(①> 12
Chapter 5. Approximation 12 微扰论的任务：借助于未微扰体系的态矢|ψn(0)>和本 征能量E n(0)来导出扰动后的态矢|ψn >和能量En 的表达式。 (1)能量一级修正λE n (1) 根据力学量本征矢的完备性假定， H(0)的本征矢|ψn (0)>是 完备的，任何态矢量都可按其展开，|ψn (1)> 也不例外。因此我 们可以将态矢的一级修正展开为： >= ∑ >< >= ∑ > ∞ = ∞ = )0()1( 1 )0( )1()0( 1 )1( | | | | kn k k k k n k n ψ ψψψ a ψ akn(1) = <ψk (0) |ψn (1) 代回前面的第二式并计及第一式得： > (二)能量和态矢的一级修正
Chapter 5.Approximation i-E∑。 1w>-i-E]川y4> aIE0-E0]Iw>-Ii山-E]川Ψ> 左乘<中no川 aIE0-E0]<y91y>=-<w911y>+E<wm1w> 考虑到本征基矢的正交归一性： 三g-5w-i+E6 amIE0-Eo]=-i0+E"δm 13
Chapter 5. Approximation 13 − −−>= > − −−>= > ∑ ∑ ∞ = ∞ = )0()0()0()1( )0()1()1( 1 )0()1( )0()1()1( 1 )0()0( |] ˆ [ |] [ |] ˆ |] [ ˆ [ kkn n k n n k kn k n n k n EEa EH EH a EH ψ ψ ψ ψ 左乘<ψm(0)| ∑ <− <−>= <+> > ∞ = )0()0()0()0()1( )0()1()0( )0()0()1( 1 | | ˆ [ |] | kkn n km m n n nm k EEa ψψ ψ H ψ E ψψ 考虑到本征基矢的正交归一性： mknkkn mnnmn k ∑ EEa EH δ+−=δ− ∞ = )0()0()1( )1()1( 1 ˆ [ ] mmn n mn EHEEa δ mnn )0()0()1( ˆ )1()1( [ ] +−=−
Chapter 5.Approximation 1.m=n: E9==<w91w9> 考虑两 种情况 2.m≠n:a鼎= E-E0 <y"1y> E0-E9 准确到一阶微扰的体系能量： E =E()+AE=E)+<)> =E0+<w|iuy0>=E+<w1i'|y)> =E0+升m E0=,m=<y01H'1y,0> 能量一级修正等于微扰Hamilton 量在0级态矢中的平均值 14
Chapter 5. Approximation 14 准确到一阶微扰的体系能量： )0( )1( n n += λ EEE n <+= > )0( )0()1()0( | ˆ | E n ψλ n H ψ n <+= > )0( )0( )0()1( | ˆ | E n n H ψλψ n <+= ′ > )0( )0( )0( | ˆ | E n ψ n H ψ n n HE nn += ′ ˆ )0( (1) (0) (0) ˆ ˆ | | EH H n nn n n = ′ ′ =<ψ ψ > 能量一级修正等于微扰Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值 考虑两 种情况 1.m = n: =<= >)0()1()0()1()1( | ˆ | ˆ n HE nn ψ n H ψ n 2.m ≠ n: )0()0( )0()1()0( )0()0( )1( )1( | ˆ | ˆ n m m n n m mn mn EE H EE H a − < > = − = ψ ψ
5. Approximation (2) 态矢的一级修正|中.()〉 为了求出体系态矢的一级修正，我们先利 用扰动态矢|中。>的归一化条件证明上式 展开系数中ann①=0（可以取为0）。 证： 基于|业。〉的归一化条件并考虑上面的展开式， 1=<wn|wn>=<y01+元<w"1lw>+元|w">] =<Ψ|Ψ)>+2<Ψ0)1y>+2<Ψ1Ψ>+22<ΨIΨ> =1+【a出<w01y0>+a出*<w01w>]+2. 由于归 1+ 【a'6t+a*6al+2.≈1+a州+aw*灯 一，所以 k三 [a"+a的=0元≠0.[aw+a"*]=0→Rea"]=0 Λ5
Chapter 5. Approximation 15 （2）态矢的一级修正 |ψn(1)> >= ∑ > ∞ = )0()1( 1 )1( | | kkn k ψ n a ψ 为了求出体系态矢的一级修正，我们先利 用扰动态矢|ψn >的归一化条件证明上式 展开系数中an n(1)= 0（可以取为 0）。 证： 基于|ψn > 的归一化条件并考虑上面的展开式， =< ψ |1 ψ nn > |[ [||] ]| )0( )1( )0( )1( n n n ψλψψλψ n >+>•<+<= =< <+> <+> <+> > )0()0( )1()0( )0()1( )1()1(2 | | | | nn nn nn ψψλψψλψψλψψ nn )1( )0()0( )1( )0()0( 2 "" 1 1 += λ ∑ [ < |ψψ <+> ψψ ]|* +> λ = kn n k kn k n k a a )1( )1( 2 "" 1 1 += λ ∑ [ δ + ]* + λδ = nkkn kn kn k a a [1 *] )1()1( λ nn ++≈ aa nn 由于归 一，所以 [ 0*] [0 0]Re[0*] )1()1( )1()1( )1( λ nn aa nn =+ ∵ λ nn aa nn ⇒=+∴≠ a nn =