Chapter 5.Approximation §5.1非简并定态微扰理论 (一)微扰体系方程 (二) 态矢和能量的一级修正 (三)能量的二阶修正 (四)微扰理论适用条件 (五) 讨论 (六) 实例 6
Chapter 5. Approximation 6 §5.1 非简并定态微扰理论 （一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正 （四）微扰理论适用条件 （五）讨论 （六）实例
Chapter 5.Approximation (一)微扰体系方程 微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体 运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用 微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由 于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况 下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体 系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影 响而发生的变化。 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体 系叫做微扰体系。假设体系Hamilton量不显含 时间，而且可分为两部分： 庄=Ao)+A
Chapter 5. Approximation 7 微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体 运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用 微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由 于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况 下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体 系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影 响而发生的变化。 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体 系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含 时间，而且可分为两部分： += HHH ′ ˆˆˆ )0( （一）微扰体系方程
Chapter 5.Approximation Ho)所描写的体系是可以精确求解的，其本征值E(o,本 征矢中.o>满足如下本征方程：Iy>=EI> 另一部分H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可 以看作加于Ho)上的微小扰动。现在的问题是如何求解微 扰后Hamilton量H的本征值和本征矢，即如何求解整个 体系的Schrodinger方程： HV>=EVn> 当H’=0时，|>=|。o)>,En=E。o); 当H'≠0时，引入微扰，使体系能级发生移动，由E(o)→En, 状态由|中。0)>→|.>。 8
Chapter 5. Approximation 8 H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值E n(0),本 征矢|ψn(0)> 满足如下本征方程： >= >)0()0()0()0( | | ˆH ψn E ψnn 另一部分 H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可 以看作加于 H(0) 上的微小扰动。现在的问题是如何求解微 扰后 Hamilton 量 H 的本征值和本征矢，即如何求解整个 体系的 Schrodinger 方程： EH || ψψ nnn >>= ˆ 当H’= 0 时，|ψn> = |ψn (0)> , En = E n (0) ； 当H’≠0时,引入微扰,使体系能级发生移动,由E n(0) → En , 状态由|ψn (0)> →|ψn >
Chapter 5.Approximation 为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为： 庄'=九庄() 其中入是很小的实数，表征微扰程度的参量。 因为E。、|>都与微扰有关，可以把它们看成是入的函数而将其展 开成入的幂级数： En=E0+E0+2E2)+. lwn>w0>+y9>+221w2>+. 其中Eno),入E(①四，入2E。),·分别是能量的0级近似，能量 的一级修正和二级修正等； 而引。0)>，入|。（①）>，入2|。2)>，.·分别是状态矢量0级近 似，一级修正和二级修正等
Chapter 5. Approximation 9 为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为： )1( λ HH ˆˆ ′ = 其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。 因为 En 、 |ψn > 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展 开成λ的幂级数： 其中 E n (0),λEn(1),λ2 E n (1), . 分别是能量的 0 级近似,能量 的一级修正和二级修正等; 而|ψn (0)>,λ|ψn (1)>,λ2 |ψn (2)>, . 分别是状态矢量 0 级近 似，一级修正和二级修正等。 (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) || | | nn n n nn n n EE E E λ λ ψ ψ λψ λ ψ =+ + + >= > + > + > + "
△nnrovimation 代入Schrodinger方程得： (A0+2i四)0w0)>+1y>+22|y2今+.) =(E0)+元ED+22E2)+.)0w0>+21y四>+22Iy2)>+.) 乘开得： 0Iw9>+ E1w>+ [aI">+Iw9>]+ 入 [E0Iw9>+E"I09习J+ 2 [w2>+Iw">]+ 22 [E0Iw2>+EIΨ0>+E2Iv09>]+ 3 根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得如下系列方程： 10
Chapter 5. Approximation 10 ( )(| | | ) )(| | | ) ˆˆ ( )0( )2(2)1( )0( )1( )2(2 )0( )0()1( )1( )2(2 " " " +++= +>+> +> + +>+> +> n n n n n n n n n EEE HH λλ ψλψλψ ψλψλψλ 代入Schrodinger方程得： 乘开得： ⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎬⎫ ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧ λ + +>ψ+>ψ+>ψλ λ +>ψ+>ψ +>ψ = ⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎬⎫ ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧ λ + λ +>ψ+>ψ +>ψ+>ψλ +>ψ """""""""""""""""" """""""""""""""" """""""""""" """"""""""" [ ] ]|||[ ]||[ | [ ] ]| ˆ | ˆ [ ]| ˆ | ˆ [ | ˆ 3 )0()2()1()1()2()0(2 )0()1()1()0( )0()0( 3 2 )1()1()2()0( )0()1()1()0( )0()0( nn nnnn nnnn nn n n n n n E EE E E E H H H H H 根据等式两边λ同幂次的系数应该相等,可得如下系列方程: