模糊聚类分析 高新波 西安电子科技大学电子工程学院 2002年5月
糊聚模 析 类 新荒高分糊数学的产生和发展 我们知道，数学是从量的侧面研究客观世界的一门科学，因此，一提起数学， 人们自然会想到它是精确的。然而精确的数学有时不能有效地描述现实世界里 存在的大量模糊现象，例如；“好与坏”、“长与短”、“一大堆”、“一小撮”、“太 热”、“有点冷”、“比较甜”、“不太苦”、“物美价廉”、“地大物博”等等。 但是这些“量”在人们的头脑里的确有个“标准”，而且为人们所普遍接受。利用这 些模糊量非但不影响人们的信息交流，反倒能便于理解与记忆。 精确数学是建立在经典集合论基础之上的。根据集合论的要求，一个对象对 于一个给定的集合，要么属于()，要么不属于()，两者必居其一，绝不允许模 棱两可！由此而产生了我们熟知的二值逻辑，即对于一个“命题”，或者是真（真 值为1)，或者是假（真值为0），两者必居其一。十九世纪由于英国数学家布 尔(Bool:1815一1864)等人的研究，这种基于二值逻辑的绝对思维方法经过抽象后 成为布尔代数，也叫逻辑代数，它用代数方法研究推理、证明等逻辑问题，它的 出现促使数理逻辑成为一门很有实用价值的特殊学科，同时也成为计算机的基 础。尽管如此，二值逻辑却无法解决一些逻辑悖论或诡辩问题，例如，著名的罗 素(Russell)“理发师悖论”问题，“秃头悖论”问题和“克利特岛人(Cretan)说谎悖 论”问题等等。 日常生活中的“模糊性现象的存在、逻辑悖论的发现以及海森堡(Heisenberg) 测不准原理的提出导致了多值逻辑或“模糊逻辑”在二十世纪二三十年代的诞生。 量子理论学家在二值逻辑的框架中引入第三值或中间真值来表示不确定性。并进 一步引入了不确定性程度，把真假看作不确定性的两个极限情况。 二十世纪三十年代早期，波兰逻辑学家卢卡塞维克兹(Lukasiew icz)首次正 1
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式提出了三值逻辑体系，把逻辑真值的值域由{0,1}二值扩展到{0,1/2,1}三值， 其中1/2表示不确定。后来，他又把真值范围从{0,1/2,1}进一步扩展到0,1]之间 的有理数，并最终扩展为0,1区间。逻辑学家们利用常用的真值函数t:{命题}→ [0,1]来定义连续或“模糊”逻辑，并对该体系命名为L[] 量子哲学家马克思·布莱克(Max Black)利用连续逻辑为集合中成员赋值。可 以说，历史上布莱克第一个构造了模糊集的隶属度函数。布莱克称结构的不确定 性为“模糊性(Vagueness)”。 1965年美国自动控制专家、数学家扎德(Lotfi A.Zadeh)发表了他的论文“模 糊集”[2]，正式提出了多值集合理论，并把“模糊(Fzy)”一词引入技术文献中。 从而掀起了多值数学结构研究的第二次浪潮，研究兴趣遍及系统到拓扑的各个方 面。此后的二三十年，随着模糊商业产品和新理论的不断涌现，形成了多值系统 研究的第三次浪潮。 扎德的主要贡献在于把模糊性跟数学统一在一起3]。模糊数学决不是把已经 很精确的数学变得模模糊糊，而是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描述 的模糊事物，因为在现实世界里（例如要测量一个物体的长度）要想绝对精确是 不可能的，实际上也就只能将所谓的不准确程度降低到无关紧要的水平罢了。扎 德充分注意到这一点，他的观点不是让数学放弃严格性去迁就模糊性，而是要把 数学方法打入具有模糊现象的“禁区”里去，也就是让数学回过头来吸取人脑对于 模糊现象识别和判决中的优点，这样就为电子计算机开辟了进一步模拟人脑思维 特点的道路，使它更加“聪明”了。 模糊数学从它诞生的那天起，便和计算机的发展息息相关，相辅相成。没有 电子计算机，就没有模糊数学；没有模糊数学，计算机的应用也会大大受到限 制。因为利用模糊数学构造数学模型、来编制计算机程序，可以更广泛、更深 入地模拟人的思维。而且，模糊数学既认识到事物“非此即彼”的明晰性状态，又 认识到事物的“亦此亦彼”的模糊性状态，因此它的适应面也就比传统数学广泛的 多。迄今为止，模糊数学已在模式识别、自动控制、信息处理、天气预报、地震 研究、人工智能、医疗诊断、农作物选种以及心理学、生态学、语言学等多种领 域内得到应用。 当前，模糊数学的研究领域可大体分为三个方面[4：模糊数学理论及其与经 典数学、统计数学的关系；模糊语言和模糊逻辑：模糊数学的应用等。尽管模糊 2
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数学诞生很晚，但其发展十分迅速。1978年，zadeh教授提出倒但能性堆论，闸述 倒随机性和但能性的区别。和被认为是模糊数学发展的第二个此程碑。但能性堆 论的出现为模糊数学更广泛地应用于模式识别和其他领域提供倒强有力的堆论基 础和有效的工具。 目前，尽管模糊数学已在我面的学及社会的学领域内获得倒广泛的应用，但 它的堆论体系和推广应用仍处于发展之中。和需要我展数堆论和实践点个方面 进发研数妃，发展它和完善它。 数学想界知侧究，量式识别 随着现代的学、特别是计算机的学的发展，社会的学与我面的学之间，正在相互 渗透，形成许多新的边缘学的。其中物具生命力的，莫描信息的学，因为它用道 化公式把们的思维过程表现倒出定。和样，配合以现代电提计算机的巨大信息存 贮能力，便但以解决许多们的才智所不能解决的复杂问题。有们说，和是发个脑 力延伸的时代，门实发点也不过分。 信息的学的物新发展表明，建撮在概率论基础流的香农(Shannon)信息论，只 着重表达倒信息的传递，但难以表达信息本身的含义。而信息的学不仅要研数后 息老”的问题，更重要的还在于信息的结构，即信息的定性描述问题。和就涉及 到信息的提取、描述、推堆、判断和决策等富有挑战性的处堆工甜。在信息处堆 发领域中，模式识别起着举头轻重的甜用，具有信息感糊堆解等处堆功能， 是研数信息结构与含义的重要工具[可。 模式识别(Pattern Recognition)是本世纪六十年代初迅速发展起定的、与高技 术的研数妍发有着密切联系的发]新兴学的。它所研数的堆论和方法在很多的学 和技术领域中得到倒广泛的应用，推动倒们工智能系统的发展，多大倒计算机应 用的领域，在向们类智能逼近发永恒的前沿课题中占有发席之地。但以说，在 高度我动化的今天，模式识别已经几乎进名们类生活的各个领域[⑥。 挨式”(Pattern)和个词与保护神(Patron)定我同发词根，本意是指供 模仿用的堆想标本[☑。因此，形象地讲，模式识别是指从待识别的对象中分辨出 哪个对象与标本相同或相似。们脑就是发但靠的识别系统，们展在感受外生现 象的时候，为要把它展避行分类，即把相似而又不完全相同的现象分成发媳。和
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