231平面向量基本定理及坐标表示 、教学目标 (一)核心素养 通过这节课学习,了解平面向量基本定理及意义,掌握正交分解下向量的坐标表 示.认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁理解平 面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法 (二)学习目标 1.了解平面向量的基本定理及意义,能正确地运用平面向量基本定理. 2.了解向量夹角、夹角的范围及向量垂直 3.掌握平面向量的正交分解及坐标表示,理解平面向量与坐标之间的对应关系,为 用坐标进行向量的运算奠定基础 (三)学习重点 平面向量的基本定理,正交分解下向量的坐标表示 (四)学习难点 平面向量的基本定理的理解与应用 、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务:阅读教材第93页至第95页,填空 (1)平面向量基本定理:如果e,e是同一平面内的两个不共线向量,那么对 于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数,λ2,使a=e1+e2我们把 不共线的向量e,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 (2)向量夹角:已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=0叫 作向量a与b的夹角向量夹角的取值范围是0°≤0≤180°当a与b同向时,夹角 0;当a与b反向时,夹角θ=180°.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与 b垂直记作a⊥b (3)把一个向量分解为两个_互相垂直的向量,叫做把向量正交分解在平面直角
2.3.1 平面向量基本定理及坐标表示 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解平面向量基本定理及意义，掌握正交分解下向量的坐标表 示．认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁.理解平 面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法． （二）学习目标 1.了解平面向量的基本定理及意义，能正确地运用平面向量基本定理. 2.了解向量夹角、夹角的范围及向量垂直. 3.掌握平面向量的正交分解及坐标表示，理解平面向量与坐标之间的对应关系，为 用坐标进行向量的运算奠定基础. （三）学习重点 平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示. （四）学习难点 平面向量的基本定理的理解与应用. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务：阅读教材第 93 页至第 95 页，填空： （1）平面向量基本定理：如果 1 e ， 2 e 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对 于这一平面内的 任意 向量 a，有且只有 ．．．．一对实数 1 ，2 ，使 a＝ 1 1 2 2 e e + .我们把 不共线的向量 1 e ， 2 e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 . （2）向量夹角：已知两个 非零 向量 a 和 b，作 OA＝a，OB ＝b，则∠AOB＝ 叫 作向量 a 与 b 的 夹角 .向量夹角的取值范围是 0 180 .当 a 与 b 同向时，夹角 ＝0 ；当 a 与 b 反向时，夹角 ＝180 .如果向量 a 与 b 的夹角是 90 ，我们说 a 与 b 垂直记作 a⊥b . （3）把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.在平面直角
坐标系中,分别取x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底对于平面内 的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y使得a=x+y 则把有序数对(x,)叫做向量a的坐标,记作a=(x,p 2.预习自测 (1)只有不共线的两个向量可以作为基底() 【答案】 2)平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯 的() 【答案】√ (3)若e,e2是同一平面内的两个不共线向量,则e+le2(,l2为实数)可 以表示该平面内所有向量() 【答案】√ (4)已知向量a与b的夹角为x,则向量2a与-3b的夹角为() 【答案】C. (5)已知基向量i(1,0),j=(0,1),m=4i-,则m的坐标是() A.(4,1) B.(-4,1) C.(4,-1) D.(-4,-1) 【答案】C (二)课堂设计 1.知识回顾 (1)实数与向量的积:实数λ与向量a的积是一个向量,记作:Aa ①a=|la ②A>0时Aa与a方向相同;A<0时A与a方向相反;2=0时a=0 (2)运算定律 ①结合律:A(a)=(4)a ②分配律:(4+)a=la+,4(a+b)=ha+hb (3)共线向量基本定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个
坐标系中，分别取 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底.对于平面内 的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y 使得 a i j = + x y . 则把有序数对（x，y）叫做向量 a 的坐标，记作 a＝（x，y）. 2．预习自测 （1）只有不共线的两个向量可以作为基底（ ） 【答案】√． （2）平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一 的（ ） 【答案】√． （3）若 1 e ， 2 e 是同一平面内的两个不共线向量，则 1 1 2 2 e e + （ 1 ，2 为实数）可 以表示该平面内所有向量（ ） 【答案】√ （4）已知向量 a 与 b 的夹角为 3 ，则向量 2a 与－3b 的夹角为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】C． （5）已知基向量 i＝（1,0），j＝（0,1），m＝4i－j，则 m 的坐标是（ ） A.(4,1) B.(－4,1) C.(4,－1) D.(－4,－1) 【答案】C (二)课堂设计 1．知识回顾 （1）实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作： a . ① a a = ； ② 0 时 a 与 a 方向相同； 0 时 a 与 a 方向相反； = 0 时 a ＝0. （2）运算定律： ①结合律： ( a a ) = ( ) ； ②分配律： ( + = + )a a a ， (a b a b + = + ) . （3）共线向量基本定理：向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个
非零实数λ,使b=Aa 2.问题探究 探究一平面向量基本定理 ●活动①感性体会 如图,e,g2是平面内两个不平行的向量,请用e,e2表示AB、CD、EF、GH 我们容易得到:AB=2e+3e2,CD=-1+4e2,EF=4e1-4e2,GH=-2e1+5e2 【设计意图】让学生从计算特例入手,感性体会 ●活动②升华理解 给定平面内任意两个向量e,e2,平面内任一向量是否都可以用形如e1+1e2的向 量表示呢? 如图(1),设e,e2是同一平面内的两个不共线向量,a是这一平面内的任一向量, 请通过作图探究a与e,e2之间的关系 B 如图(2),在平面内任取一点O,作OA=e,OB=e,,OC=a过点C作平行于直 线OB的直线,与直线OA交于点M;过点C作平行于直线OA的直线,与直线 OB交于点N由向量的线性运算性质可知,存在实数A、,使得OM=e1,ON=2e2 由于OC=OM+ON,所以a=4e1+e2也就是说,任一向量a都可以表示成Ae+e 的形式.由此可得 平面向量基本定理:如果e,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这
非零实数 ，使 b a = . 2．问题探究 探究一 平面向量基本定理 ●活动① 感性体会 如图， 1 e ， 2 e 是平面内两个不平行的向量，请用 1 e ， 2 e 表示 AB 、CD 、EF 、GH . 我们容易得到： 1 2 AB = + 2 3 e e ， 1 2 CD = − + e e4 ， 1 2 EF = − 4 4 e e ， 1 2 GH = − + 2 5 e e . 【设计意图】让学生从计算特例入手，感性体会. ●活动② 升华理解 给定平面内任意两个向量 1 e ， 2 e ，平面内任一向量是否都可以用形如 1 1 2 2 e e + 的向 量表示呢？ 如图（1），设 1 e ， 2 e 是同一平面内的两个不共线向量，a 是这一平面内的任一向量， 请通过作图探究 a 与 1 e ， 2 e 之间的关系. 如图（2），在平面内任取一点 O，作 OA = 1 e ，OB = 2 e ，OC = a .过点 C 作平行于直 线 OB 的直线，与直线 OA 交于点 M；过点 C 作平行于直线 OA 的直线，与直线 OB 交于点 N.由向量的线性运算性质可知，存在实数 λ1、λ2，使得 OM = 1 1 e ，ON = 2 2 e . 由于 OC OM ON = + ，所以a＝ 1 1 2 2 e e + .也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1＋λ2e2 的形式．由此可得： 平面向量基本定理：如果 1 e ， 2 e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
平面内的任意向量a,有且只有一对实数,λ,使 a=2e +he 【设计意图】从特殊到一般 ●活动③唯一性及普遍性 思考 1)若上述向量e,e2,a都为定向量,且e,e2不共线,则实数λ,是否存在? 是否唯一? 2)若向量a与e或e2共线,a还能用e1+e2表示吗? 3)平面向量基本定理中,不共线向量e,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基 底那么同一平面内可以作基底的向量有多少组?不同基底对应向量a的表示式是 否相同? 【设计意图】体会感知唯一性及普遍性,并进一步探究几个关键点 l我们把不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2)基底不惟一,关键是不共线 3)由定理可将任一向量a在给出基底e1,2的条件下进行分解 4基底给定时,分解形式惟一λ,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数量 ●活动④巩固基础,检查反馈 例1如果e,e2是平面a内两个不共线向量,那么下列说法中不正确的是() ①a=e1+e2(、H∈R)可以表示平面a内的所有向量; ②对于平面a内任一向量a,使a=Ae1+e2的实数对(,)有无穷多个 ③若向量+Ae2与+Ae共线,则= ④若实数A,使得Ae2+ue2=0,则A==0 A.①② B.②③ C.③④ 【知识点】平面向量基本定理
平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1 ，2 ，使 a＝ 1 1 2 2 e e + . 【设计意图】从特殊到一般. ●活动③ 唯一性及普遍性 思考： 1)若上述向量 1 e ， 2 e ，a 都为定向量，且 1 e ， 2 e 不共线，则实数 1 ，2 是否存在？ 是否唯一？ 2)若向量 a 与 1 e 或 2 e 共线，a 还能用 1 1 2 2 e e + 表示吗？ 3)平面向量基本定理中，不共线向量 1 e ， 2 e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基 底.那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量 a 的表示式是 否相同？ 【设计意图】体会感知唯一性及普遍性，并进一步探究几个关键点： 1)我们把不共线向量 1 e ， 2 e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 2)基底不惟一，关键是不共线； 3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 1 e ， 2 e 的条件下进行分解； 4)基底给定时，分解形式惟一. 1 ， 2 是被 a， 1 e ， 2 e 唯一确定的数量． ●活动④ 巩固基础，检查反馈 例 1 如果 1 e ， 2 e 是平面 内两个不共线向量，那么下列说法中不正确的是( ) ① a e e = + 1 2 ( 、 R) 可以表示平面 内的所有向量； ②对于平面 内任一向量 a，使 = + 1 2 a e e 的实数对 ( , ) 有无穷多个； ③若向量 1 1 1 2 e e + 与 2 1 2 2 e e + 共线，则 1 1 2 2 = ； ④若实数 , 使得 e e 1 2 + ＝0，则 = = 0 ． A．①② B．②③ C．③④ D．② 【知识点】平面向量基本定理．
【解题过程】根据平面向量基本定理知:①是真命题,②是假命题:对于③,当A12=0或 2=0时不一定成立,应为A142-2A1=0:对于④,若A,有一个不为0,不妨设A≠0 则:=-日e2:所以e,e2共线,矛盾 【思路点拨】抓住基向量e1,e2不共线和平面向量a用基底e1,e2表示的唯一性 【答案】B 同类训练下面说法中,正确的是() ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底 一个平面内由无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量 ④对于平面内的任一向量a和一组基底e,e2,使a=Ae1+e2成立的实数对一定是唯一的 A.②④ ②③④ ①③ D.①③④ 【知识点】平面向量基本定理 【解题过程】根据平面向量基本定理知:①错:②正确:③正确:④正确 【思路点拨】由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的,由此关系对四 个选项作出判断,得出正确选项 【答案】B 例2已知a=|b=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是 a-b与a的夹角是 【知识点】向量夹角、向量加减的几何意义 【解题过程】如图 C 作OA=a,OB=b,且∠AOB=60°,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则 OC=OA+OB=a+b,BA=OA-0B=a-b,BC=O=a,因为a=|b=2,所以△OAB为 正三角形,所以∠0AB=60°=∠ABC,即a-b与a的夹角为60°:因为a=|b,所以平行四边
【解题过程】根据平面向量基本定理知：①是真命题，②是假命题；对于③，当 1 2 = 0 或 1 2 = 0 时不一定成立，应为 1 2 2 1 − = 0 ；对于④，若 , 有一个不为 0，不妨设 0 ， 则： 1 2 e e = − ；所以 1 e ， 2 e 共线，矛盾． 【思路点拨】抓住基向量 1 e ， 2 e 不共线和平面向量 a 用基底 1 e ， 2 e 表示的唯一性． 【答案】B 同类训练 下面说法中，正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内由无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量； ④对于平面内的任一向量 a 和一组基底 1 e ， 2 e ，使 = + 1 2 a e e 成立的实数对一定是唯一的． A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④ 【知识点】平面向量基本定理． 【解题过程】根据平面向量基本定理知：①错；②正确；③正确；④正确． 【思路点拨】由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四 个选项作出判断，得出正确选项． 【答案】B 例 2 已知 a b = = 2，且 a 与 b 的夹角为 60°，则 a＋b 与 a 的夹角是_________， a－b 与 a 的夹角是_________． 【知识点】向量夹角、向量加减的几何意义． 【解题过程】如图， 作 OA = a ， OB = b ，且∠AOB＝60°，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB，则 OC OA OB = + = + a b ， BA OA OB = − = − a b ， BC OA = = a ，因为 a b = = 2 ，所以△OAB 为 正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即 a－b 与 a 的夹角为 60°；因为 a b = ，所以平行四边