人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积习题(1)

高中数学教案学案平面向量的数量积及其应用 学习目标:1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量 投影的关系3掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示 两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的 平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 1.向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义 ,其中los 〈a,b)叫做向量a在b方向上的投影. (2)向量数量积的性质: ①如果e是单位向量,则ae=ea= ②非零向量a,b,a⊥b兮 ④cos(a,b)= Dlab albl 2.向量数量积的运算律 (1)交换律:ab= (2)分配律:(a+b)c= (3)数乘向量结合律:(Aa)b 3.向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,即若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab (2)设a=(a,a2),b=(b,b2),则a⊥b (3)设向量a=(a1,a),b=(b1,b2), cos (a, b) (4)若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB 所以|AB 1.(2010·湖南)在R△ABC中,∠C=90°AC=4,则BAC等于 A.-16 B.-8 D.16 2.(2010重庆)已知向量a,b满足ab=0,l=1,|b=2,则2a-b= 3.(2011福州月考)已知a=(1,0),b=(1,1),(a+Ab)⊥b,则λ等于 4平面上有三个点A(2,y),B(0,),C(x,y),若AB⊥B,则动点C的轨迹方 程为 5.(200.天津)若等边△ABC的边长为2√,平面内一点M满足C=+3C, 则MAMB= 考点一向量的模及夹角问题 【例1】(2011马鞍山月考)已知d=4,{b=3,(2a-3b)(2a+b)=61 (1)求a与b的夹角O;(2)求|a+b (3)若AB=a,BC=b,求△ABC的面积

高中数学教案学案平面向量的数量积及其应用 学习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量 投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示 两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的 平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a|cos 〈a，b〉叫做向量 a 在 b 方向上的投影． (2)向量数量积的性质： ①如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a＝__________________； ②非零向量 a，b，a⊥b⇔________________； ③a·a＝________________或|a|＝________________； ④cos〈a，b〉＝________； ⑤|a·b|____|a||b|. 2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝________； (2)分配律：(a＋b)·c＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa)·b＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a·b ＝________________________； (2)设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a⊥b⇔________________________； (3)设向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________. (4)若 A（x1 ，y1），B（x2 ，y2），则| AB→ ＝________________________，所以| AB→ |＝ _____________________. 1.（2010·湖南）在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=4,则AB →·AC →等于 ( ) A．－16 B．－8 C．8 D．16 2．(2010·重庆)已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝ ( ) A．0 B．2 2 C．4 D．8 3．(2011·福州月考)已知 a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则 λ 等于 ( ) A．－2 B．2 C.1 2 D．－ 1 2 4.平面上有三个点 A（-2，y），B（0， 2 y ），C（x，y），若A B →⊥BC→，则动点 C 的轨迹方 程为________________． 5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为 2 3 ，平面内一点 M 满足CM → ＝ 1 6 CB→＋ 2 3 CA→， 则MA→ ·MB→ ＝________. 考点一 向量的模及夹角问题 例 1 (2011·马鞍山月考)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ；(2)求|a＋b|； （3）若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC 的面积．

举一反三1(1)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)(b )=0,则l的最大值是 A.1 B.2 2 (2)已知i,j为互相垂直的单位向量,a=}-2,b=计+,且a与b的夹角为锐角,实数 λ的取值范围为 考点二两向量的平行与垂直问题 【例2】已知a=(cosa,sina,b=(cosB,sinB,且M+b的长度是a-的长度的3倍 (k>0) (1)求证:a+b与a-b垂直 (2)用k表示ab; (3)求ab的最小值以及此时a与b的夹角O 举一反三2(2009江苏)设向量a=(4csa,sina),b=(sinB,4cosB),c=(cosB,-4sin (1)若a与b-2c垂直,求tan(a+的值 (2)求b+c的最大值 (3)若 tan atan B=16,求证:a∥b 考点三向量的数量积在三角函数中的应用 例31已知向量a=(s cos 且x6 (1)求ab及a+b (2)若fx)=ab-|a+b,求fx)的最大值和最小值 举一反三3(2010·四川)已知△ABC的面积S=ABC=3,且csB=3,求cosC 1.一些常见的错误结论 (1)若a=,则a=b;(2)若a2=b,则a=b;(3)若a∥b,b∥c,则a∥c;(4)若ab=0 则a=0或b=0;(5)ab=ab;(6)ab)c=a(bc);(7)若ab=ac,则b=c以上结论都是错 误的,应用时要注意 2.平面向量的坐标表示与向量表示的比较 已知a=(x,y),b=(x2,y2),O是向量a与b的夹角

举一反三 1 (1)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(a－c)·(b－ c)＝0，则|c|的最大值是 ( ) A．1 B．2 C. 2 D. 2 2 (2)已知 i，j 为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且 a 与 b 的夹角为锐角，实数 λ 的取值范围为________． 考点二 两向量的平行与垂直问题 例 2 已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且 ka＋b 的长度是 a－kb 的长度的 3倍 (k>0)． (1)求证：a＋b 与 a－b 垂直； (2)用 k 表示 a·b； (3)求 a·b 的最小值以及此时 a 与 b 的夹角 θ. 举一反三 2 (2009·江苏)设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b. 考点三 向量的数量积在三角函数中的应用 例 3 已知向量 a＝    cos 3 2 x，sin 3 2 x ， b＝    cos x 2 ，－sin x 2 ，且 x∈   －  π 3 ， π 4 . (1)求 a·b 及|a＋b|； (2)若 f(x)＝a·b－|a＋b|，求 f(x)的最大值和最小值． 举一反三 3 （2010·四川）已知△ABC 的面积 S= 1 2 AB →·AC→·＝3，且 cos B＝ 3 5 ，求 cos C. 1．一些常见的错误结论： (1)若|a|＝|b|，则 a＝b；(2)若 a 2＝b 2，则 a＝b；(3)若 a∥b，b∥c，则 a∥c；(4)若 a·b＝0， 则 a＝0 或 b＝0；(5)|a·b|＝|a|·|b|；(6)(a·b)c＝a(b·c)；(7)若 a·b＝a·c，则 b＝c.以上结论都是错 误的，应用时要注意． 2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较： 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是向量 a 与 b 的夹角. 向量表示 坐标表示

向量a的模 √aa=Ⅷ a与b的数量积 ab=allblcos 8 ab=xx2+y a与b共线的充要条件 Abb≠0a= a∥bexy2-xy=0 非零向量a,b垂直的充要条件 a⊥bab=0 ⊥b兮xx+2=0 向量a与b的夹角 Cos 0s_.b cos 6 x12+yy2 +ⅵ、x2+ 3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有: (1)要证AB=CD,可转化证明AB2=CD2或AB=CD (2)要证两线段AB∥CD,只要证存在唯一实数≠0,使等式AB=ACD成立即可 )要证两线段AB⊥CD,只需证ABCD=0 选择题(每小题5分,共25分) 1.(2010·重庆)若向量a=(3,m),b=(2,-1),ab=0,则实数m的值为 B 2.已知非零向量a,b,若l=|=1,且a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),则实数k的 值为 已知△ABC中,AB=a,AC=b,ab0,S△ABC=4,=3,b=5,则∠BAC等于() A B D.30°或15 4.(2010湖南)若非零向量a,b满足=b,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为 B.60° C.120 D.150° 5已知a=(2,3),b=(-47,则a在b上的投影为 题号 4 答案 填空题(每小题4分,共12分) 6.(0南长沙一中月考)a=(2m,5m,b=1,2ma-1,a,x若nb 则 7.(2010广东金山中学高三第二次月考)若a=1,|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a 与b的夹角为 8.已知向量m=(1),向量n与向量m夹角为3,且mm=-1,则向量n 三、解答题(共38分) 9(12分)已知DA=(2,5),OB=(3,1),O=(63,在线段OC上是否存在点M,使MA⊥MB 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由

向量 a 的模 |a|＝ a·a＝ a 2 |a|＝ x 2 1＋y 2 1 a 与 b 的数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 a 与 b 共线的充要条件 A∥b(b≠0)⇔a＝λb a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 非零向量 a，b 垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 向量 a 与 b 的夹角 cos θ＝ a·b |a||b| cos θ＝ x1x2＋y1y2 x 2 1＋y 2 1 x 2 2＋y 2 2 3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有： （1）要证 AB=CD，可转化证明AB→2＝CD→ 2 或|AB→|＝|CD→ |. （2）要证两线段 AB∥CD，只要证存在唯一实数  ≠0，使等式AB→＝λCD→ 成立即可． （3）要证两线段 AB⊥CD，只需证AB→·CD→ ＝0. 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．(2010·重庆)若向量 a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数 m 的值为 ( ) A．－ 3 2 B.3 2 C．2 D．6 2．已知非零向量 a，b，若|a|＝|b|＝1，且 a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数 k 的 值为 ( ) A．－6 B．－3 C．3 D．6 3.已知△ABC 中，AB →＝a，AC →＝b，a·b<0，S△ABC＝ 15 4 ，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC 等于 ( ) A．30° B．－150° C．150° D．30°或 150° 4．(2010·湖南)若非零向量 a，b 满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 5．已知 a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则 a 在 b 上的投影为 ( ) A. 13 5 B. 65 5 C. 65 13 D. 13 13 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6．(2010·湖南长沙一中月考)设 a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1，2sin α－1)，α∈    π 2 ，π ，若 a·b ＝ 2 5 ，则 sin α＝________. 7．(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且 c⊥a，则向量 a 与 b 的夹角为________． 8．已知向量 m＝(1,1)，向量 n 与向量 m 夹角为3π 4 ，且 m·n＝－1，则向量 n＝ __________________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)已知OA → ＝(2,5)，OB→＝(3,1)，OC→ ＝(6,3)，在线段 OC 上是否存在点 M，使MA→ ⊥MB→ ， 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

02分20杭州调研已知向量a=(-,-),b=(0-,a-) (1)求证:a⊥b (2)若存在不等于0的实数k和1,使x=a+(2+3)b,y=-ka+tb,满足x⊥y,试求此 k+t 的最小值 1.(14分)201济南模拟)已知a=(1,2snx),b=(2osx 函数fx)=ab(x∈ (1)求函数fx)的单调递减区间; (=求∞(2x-)的值 答案 1.(1)ab= ables(a,b)(2)①lcos(a,e)②ab=0③l2 ⑤≤2(1)ba (2)ac+be(3)ab)3(1)a1b+ab2(2ab1+a2b=0(3)Va2+a arbitary Na+a2 bi+b3 (4)(x2-x,y2-y)Vx2-x1)2+(y2-y)2 1.D[因为∠C=90°,所以AC·CB=0, 所以AB·AC=(AC+CB)·AC (AC)2+AC·CB=16.] 2.B[2a-b A4a-4nb+b2=√=2V2] 3.D[由(a+b)b=0得ab+AbP2=0, ∴1+2=0,∴ 4.y2=8x(x≠0) 解析由题意得AB=(2,-}) 又AB⊥BC,∴ABBC=0 化简得y2=8x(x≠0) 5.-2 解析合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设C(0,0),A( 3),这样利用向量关系式,求得MA 5)0, 所以 MA MB=-2 课堂活动区

10．(12 分)(2011·杭州调研)已知向量 a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cos    π 2 －θ ，sin    π 2 －θ )． (1)求证：a⊥b； (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t，使 x＝a＋(t 2＋3)b，y＝－ka＋tb，满足 x⊥y，试求此 时 k＋t 2 t 的最小值． 11．(14 分)(2011·济南模拟)已知 a＝(1,2sin x)，b＝    2cos    x＋ π 6 ，1 ，函数 f(x)＝a·b (x∈ R)． (1)求函数 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)＝ 8 5 ，求 cos    2x－ π 3 的值． 答案 1．(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 (2)①|a|cos〈a，e〉 ②a·b＝0 ③|a| 2 a·a ④ a·b |a||b| ⑤≤ 2.(1)b·a (2)a·c ＋ b·c (3)λ(a·b) 3.(1)a1b1 ＋ a2b2 (2)a1b1 ＋ a2b2 ＝ 0 (3) a 2 1＋a 2 2 a1b1＋a2b2 a 2 1＋a 2 2 b 2 1＋b 2 2 (4)(x2－x1，y2－y1) (x2－x1) 2＋(y2－y1) 2 2．B [|2a－b|＝ (2a－b) 2 ＝ 4a 2－4a·b＋b 2＝ 8＝2 2.] 3．D [由(a＋λb)·b＝0 得 a·b＋λ|b| 2＝0， ∴1＋2λ＝0，∴λ＝－ 1 2 .] 4．y 2＝8x(x≠0) 解析 由题意得AB →＝    2，－ y 2 ， BC→＝    x， y 2 ，又AB →⊥BC→，∴AB →·BC→＝0， 即    2，－ y 2 ·    x， y 2 ＝0，化简得 y 2＝8x(x≠0)． 5．－2 解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设 C(0,0)，A(2 3，0)，B( 3， 3)，这样利用向量关系式，求得MA → ＝   3  2 ，－ 1 2 ，MB→ ＝   3  2 ，－ 1 2 ，MB→ ＝    － 3 2 ， 5 2 ，所以 MA→ ·MB→ ＝－2. 课堂活动区

【例1解(1)∵(2a-3b)(2a+b)=61, 4a-4ab 又{d=4,|b=3,∴64-4ab-27=61 ab a|b4×32 (2)a+b=√a+b a-+2ab+ b =Vl6+2×(-6)+9=√13 (3)∵AB与BC的夹角 ∠ABC=-2= 又AB=al=4,|BC=|b=3, S△Bc= BBC]sin∠ABC 举一反三1(1)C[∵|l=|b=1,ab=0, 展开(a-c)(b-c)=0→lc=c(a+b) c|a+ bcos 6,∴|l=a+bcos0=√2cos, ∴l的最大值是√2 2)≤且≠-2 解析∵(a,b)∈(0,),∴ab>0且ab不同向 即郾一2i>0,∴ 当ab同向时,由a=kb(k>0)得=-2 【例2】解题思路1非零向量a⊥bab=0分xx2+yy2=0 2.当向量a与b是非坐标形式时,要把a、b用已知的不共线的向量表示.但要注意运 算技巧,有时把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异 解(1)由题意得,a=|b=1 ∴(a+b)(a-b)=a2-b2=0, ∴a+b与a-b垂直 (2)ka+b)=ka+2ka b+b2=k+2ka b+1 (√3a-6b2=3(1+k2)-6b 由条件知,R2+2kab+1=3(1+R2)-6kanb, 1+k2 从而有,ab (3)由(2)知abs1+2 当k=元时,等号成立,即k=±1 k>0,∴k=1 此时cos ll2’而0∈0,x],∴=z

例 1 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a| 2－4a·b－3|b| 2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61， ∴a·b＝－6. ∴cos θ＝ a·b |a||b| ＝ －6 4×3 ＝－ 1 2 . 又 0≤θ≤π，∴θ＝ 2π 3 . (2)|a＋b|＝ (a＋b) 2 ＝ |a| 2＋2a·b＋|b| 2 ＝ 16＋2×(－6)＋9＝ 13. (3)∵AB →与BC→的夹角 θ＝ 2π 3 ， ∴∠ABC＝π－ 2π 3 ＝ π 3 . 又|AB →|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3， ∴S△ABC＝ 1 2 |AB →||BC→|sin∠ABC ＝ 1 2 ×4×3× 3 2 ＝3 3. 举一反三 1 (1)C [∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0， 展开(a－c)·(b－c)＝0⇒|c| 2＝c·(a＋b) ＝|c|·|a＋b|cos θ，∴|c|＝|a＋b|cos θ＝ 2cos θ， ∴|c|的最大值是 2.] (2)λ< 1 2 且 λ≠－2 解析 ∵〈a，b〉∈(0， π 2 )，∴a·b>0 且 a·b 不同向． 即|i| 2－2λ|j| 2>0，∴λ< 1 2 . 当 a·b 同向时，由 a＝kb(k>0)得 λ＝－2. ∴λ< 1 2 且 λ≠－2. 例 2 解题思路 1.非零向量 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 2．当向量 a 与 b 是非坐标形式时，要把 a、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运 算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异． 解 (1)由题意得，|a|＝|b|＝1， ∴(a＋b)·(a－b)＝a 2－b 2＝0， ∴a＋b 与 a－b 垂直． (2)|ka＋b| 2＝k 2a 2＋2ka·b＋b 2＝k 2＋2ka·b＋1， ( 3|a－kb|) 2＝3(1＋k 2 )－6ka·b. 由条件知，k 2＋2ka·b＋1＝3(1＋k 2 )－6ka·b， 从而有，a·b＝ 1＋k 2 4k (k>0)． (3)由(2)知 a·b＝ 1＋k 2 4k ＝ 1 4 (k＋ 1 k )≥ 1 2 ， 当 k＝ 1 k 时，等号成立，即 k＝±1. ∵k>0，∴k＝1. 此时 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ 1 2 ，而 θ∈[0，π]，∴θ＝ π 3