形OACB为菱形,所以OC⊥AB,∠COA=90-60=30,即a+b与a的夹角为30 【思路点拨】根据向量的平行四边形法则,以向量a和向量b做平行四边形,再根据向量加减几 何意义进行求解 【答案】 同类训练如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与 OC的夹角为3°9,且同4=1oB=1,1=2,若OC=0+OB(x∈),则+的 值为 【知识点】向量的夹角、线性运算性质及意义 【解题过程】过C作OA与OB的平行线与它们的延长线相交,得平行四边形 由∠BOC=90°,∠AOC=30°,同A=lB=1,i=23可得平行四边形的边长为2和4,所 以A+4=2+4=6 【思路点拨】过C作OA与OB的平行线与它们的延长线相交,得平行四边形,然后将OC用向量 OA与OB表示即可 ●活动⑤强化提升,灵活应用 例3如图,在△ABC中,点M是AB的中点,且AN=NC,BN与CM相较于点E,设AB=a, AC=b,试用基底a,b表示向量AE
形 OACB 为菱形，所以 OC⊥AB，∠COA＝90 -60 =30 ，即 a+b 与 a 的夹角为 30°． 【思路点拨】根据向量的平行四边形法则，以向量 a 和向量 b 做平行四边形，再根据向量加减几 何意义进行求解． 【答案】30°，60°． 同类训练 如图，平面内有三个向量 OA、OB 、OC ，其中 OA 与 OB 的夹角为 120°， OA 与 OC 的夹角为30°，且 OA OB = =1， OC = 2 3 ，若 OC OA OB R = + ( , ) ，则 + 的 值为_______． 【知识点】向量的夹角、线性运算性质及意义． 【解题过程】过 C 作 OA 与 OB 的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形． 由∠BOC＝90°，∠AOC＝30°， OA OB = =1， OC = 2 3 可得平行四边形的边长为 2 和 4，所 以 + ＝2＋4＝6． 【思路点拨】过 C 作 OA 与 OB 的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形，然后将 OC 用向量 OA 与 OB 表示即可． 【答案】6 ●活动⑤ 强化提升，灵活应用 例 3 如图，在△ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且 1 2 AN NC = ，BN 与 CM 相较于点 E，设 AB = a ， AC = b ，试用基底 a ， b 表示向量 AE ．
B 【知识点】平面向量线性运算、基本定理及三点共线定理 【解题过程】由题知:AN=-AC=-b,AM=-AB=-a.由N,E,B三点共线,知存在实数 m满足AE=mAN+(1-m)AB=mb+(1-m)a·由C,E,M三点共线,知存在实数n满足 AE=mAM+(1-n)AC=5n+(1-n)b·由于a,b作为一组基底,所以 2,解得 3-545 ,所以AE 【思路点拨】利用N,E,B三点共线与C,E,M三点共线分别表示AE.再结合点M是AB的中 点,且AN=-NC求解 【答案】AE=21 b 同类训练如图,在△OAB中,OA=a,OB=b,M、N分别是边OA、OB上的点,且 OM=1a,aN=1b,设AN与BM相交于点P,请用向量a,b表示正E 【知识点】平面向量线性运算、基本定理 【解题过程】由图可知:OP=OM+MP,OP=ON+NF.设MP=mMB,NF=nNA,则 OP=OM+mMB=5a+m/_(1-ma+mb
【知识点】平面向量线性运算、基本定理及三点共线定理． 【解题过程】由题知： 1 1 3 3 AN AC = = b ， 1 1 2 3 AM AB = = a ．由 N，E，B 三点共线，知存在实数 m 满足 ( ) ( ) 1 1 1 3 AE mAN m AB m m = + − = + − b a ．由 C，E，M 三点共线，知存在实数 n 满足 ( ) ( ) 1 1 1 2 AE mAM n AC n n = + − = + − a b ．由于 a ， b 作为一组基底，所以 1 1 , 2 1 1 . 3 m n m n − = = − ，解得 3 , 5 4 . 5 m n = = ，所以 2 1 5 5 AE = + a b ． 【思路点拨】利用 N，E，B 三点共线与 C，E，M 三点共线分别表示 AE ．再结合点 M 是 AB 的中 点，且 1 2 AN NC = 求解． 【答案】 2 1 5 5 AE = + a b ． 同类训练 如图，在△OAB 中， OA = a ，OB = b ，M、N 分别是边 OA、OB 上的点，且 1 3 OM = a ， 1 2 ON = b ，设 AN 与 BM 相交于点 P，请用向量 a ，b 表示 AE ． 【知识点】平面向量线性运算、基本定理． 【解题过程】由图可知： OP OM MP = + ，OP ON NP = + ．设 MP mMB = ， NP nNA = ，则 ( ) 1 1 1 1 3 3 3 OP OM mMB a m b a m a mb = + = + − = − +