应视σ灬、omn的具体数值来决定。 平面应力状态下,切应力极值可按下述方法确定。设极值时的a角为a drn/da=0得 (9.5) 比较式(9.3)和式(9.5),有tan2 Co tan20=-1,可见6=a0+45°,即斜截面上 切应力的极值作用面与正应力∞的极值作用面互成45夹角。将由式(9.5) 确定的代入式(9.1)的第二式,可以求得斜截面上切应力极值τm(对应0)、 rmm(对应6+90°)为 (9.6) 这说明,斜截面上切应力极值的绝对值,等于该点处两个正应力极值差的绝对 值的一半。另外,由式(9.5)可得(x-a)os20-2 Ty sin20=0,代入式(9.1) 第一式得 (9.7) 可见在z极值作用面上的正应力相等,且为σx、σ、的平均值。 2.2图解(莫尔圆)法 平面应力状态分析,也可采用图解的方法。图解法的优点是简明直观,勿须 记公式。当釆用适当的作图比例时,其精确度是能满足工程设计要求的。这里只 介绍图解法中的莫尔圆法,它是1882年德国工程师莫尔(O.Mohr)对1866年 德国库尔曼(K. Ulman)提出的应力圆作进一步研究,借助应力圆确定一点应 力状态的几何方法 2.2.1应力圆方程 将式(9.1)改写为 ox+o, ox-Gy cos 2a-fgy Sin 2a 2、x-y sin 2a+r cos 2a 2 于是,由上述二式得到一圆方程: (b)
应视 max 、 min 的具体数值来决定。 平面应力状态下，切应力极值可按下述方法确定。设极值时的 角为 0 ，由 d α / d = 0 得： xy x y 0 2 tan 2 − = （9.5） 比较式（9.3）和式（9.5），有 tan 20 tan 2 0 = −1 ，可见 0 = 0 + 45 ，即斜截面上 切应力 α 的极值作用面与正应力 α 的极值作用面互成 45 夹角。将由式（9.5） 确定的代入式（9.1）的第二式，可以求得斜截面上切应力极值 max （对应 0 ）、 min （对应 0 + 90 ）为： 2 2 2 max min xy 2 x y min max − + = − = （9.6） 这说明，斜截面上切应力极值的绝对值，等于该点处两个正应力极值差的绝对 值的一半。另外，由式（9.5）可得 ( x − v ) cos 2 0 − 2 xy sin 2 0 = 0 ，代入式（9.1） 第一式得： 2 y θ 0 0 90 + = = + x （9.7） 可见在 α 极值作用面上的正应力相等，且为 x 、 y 的平均值。 2.2 图解（莫尔圆）法 平面应力状态分析，也可采用图解的方法。图解法的优点是简明直观，勿须 记公式。当采用适当的作图比例时，其精确度是能满足工程设计要求的。这里只 介绍图解法中的莫尔圆法，它是 1882 年德国工程师莫尔（O. Mohr）对 1866 年 德国库尔曼（K. Culman）提出的应力圆作进一步研究，借助应力圆确定一点应 力状态的几何方法。 2.2.1 应力圆方程 将式（9.1）改写为： + − = − − = + − sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y （a） 于是，由上述二式得到一圆方程： 2 x y 2 x y 2 2 x y 2 2 + − + = + − （b）
据此,若已知σ、、σ、τ,则在以σ为横坐标,τ为纵坐标轴的坐标系中, 可以画出一个圆,其圆心为(,0,半径为,+。圆周上一点的 坐标就代表单元体一个斜截面上的应力。因此,这个圆称为应力圆或莫尔圆(Mohr circle for stresses)。 □ 图9.4 2.2.2应力圆的画法 在已知σ、σ、及τ(图9.4(a)),作相应应力圆时,先在σ-τ坐标系中, 按选定的比例尺,以(ax,)、(σ,-rs)为坐标确定x(对应x面)、y(对应 y面)两点,(在应力圆中,正应力以拉应力为正,切应力以与其作用面外法线 顺时钟转向90后的方向一致时为正)。然后直线连接x、y两点交a轴于C点, 并以C点圆心,以(x或为半径画圆,此圆就是应力圆,如图9.4(b)。从图 中不难看出,应力圆的圆心及半径,与式(b)完全相同。 2.2.3几种对应关系 应力圆上的点与平面应力状态任意斜截面上的应力有如下对应关系 1)点面对应 应力圆上某一点的坐标对应单元体某一方面上的正应力和切应力值。如图 (9.4(a))上的n点的坐标即为斜截面a面的正应力和切应力。 2)转向对应 应力圆半径旋转时,半径端点的坐标随之改变,对应地,斜截面外法线亦沿 相同方向旋转,才能保证某一方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对 3)二倍角对应 应力圆上半径转过的角度,等于斜截面外法线旋转角度的两倍。因为,在单 元体中,外法线与x轴间夹角相差180°的两个面是同一截面,而应力圆中圆心角 相差360时才能为同一点 2.2.4应力圆的应用 1)应用应力圆能确定任意斜截面上应力的大小和方向。如果欲求a面上的 应力a及z,则可从与x面对应的x点开始沿应力圆圆周逆时针向转2a圆心角
据此，若已知 x 、 y 、 xy ，则在以 为横坐标， 为纵坐标轴的坐标系中， 可以画出一个圆，其圆心为 ,0) 2 ( x + y ，半径为 2 xy 2 x y 2 + − 。圆周上一点的 坐标就代表单元体一个斜截面上的应力。因此，这个圆称为应力圆或莫尔圆（Mohr circle for stresses）。 图 9.4 2.2.2 应力圆的画法 在已知 x 、 y 及 xy （图 9.4（a）），作相应应力圆时，先在 − 坐标系中， 按选定的比例尺，以( x , xy )、( y , − xy )为坐标确定 x（对应 x 面）、y（对应 y 面）两点，（在应力圆中，正应力以拉应力为正，切应力以与其作用面外法线 顺时钟转向 90 后的方向一致时为正）。然后直线连接 x、y 两点交 轴于 C 点， 并以 C 点圆心，以 Cx 或 Cy 为半径画圆，此圆就是应力圆，如图 9.4（b）。从图 中不难看出，应力圆的圆心及半径，与式（b）完全相同。 2.2.3 几种对应关系 应力圆上的点与平面应力状态任意斜截面上的应力有如下对应关系： 1） 点面对应 应力圆上某一点的坐标对应单元体某一方面上的正应力和切应力值。如图 （9.4（a））上的 n 点的坐标即为斜截面 面的正应力和切应力。 2）转向对应 应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变，对应地，斜截面外法线亦沿 相同方向旋转，才能保证某一方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对 应。 3）二倍角对应 应力圆上半径转过的角度，等于斜截面外法线旋转角度的两倍。因为，在单 元体中，外法线与 x 轴间夹角相差 180 的两个面是同一截面，而应力圆中圆心角 相差 360 时才能为同一点。 2.2.4 应力圆的应用 1）应用应力圆能确定任意斜截面上应力的大小和方向。如果欲求 面上的 应力 α 及 α ，则可从与 x 面对应的 x 点开始沿应力圆圆周逆时针向转 2 圆心角