《电磁场与电磁波》课程教学资源（文献资料）电磁场与电磁波，第二版习题解答，杨儒贵，共十章

解建立直角坐标，且令带状电荷位于x平面内，如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为dx的无限长线电荷，其线密度为p,dx。那么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量：无关，即dE-Pdx276r-er= V(x-x) +y?式中e,=e *--+e,--le(x-x)+e,)dxale(x-x)+ery)得dE= 2ms[l-x) +]E=sule(x-x)+e,j)那么2元8[(x-x) +y2[x-] +y2x-=-parctaPsInarctar+ey260元8y(x+) +y2-9已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度为Ps，位于2=0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘轴线上任一点电场强度EP(0,0,=)习题图2-926

26 解 建立直角坐标，且令带状电荷位于 xz 平面内，如习题图 2-8 所示。带状 电荷可划分为很多条宽度为 d x  的无限长线电荷，其线密度为 x s  d  。那 么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量 z 无关，即 r E e r x s 2 0 d d     式中   2 2 r  x  x   y  x x  y r r y r x x r x y x y e e e  e   e    1 得     x x  y x x y x s x y E e    e      2 2 2 0 d d   那么     x x  y x x y x s w w x y E e   e       2 2 0 2 2 2 d                                      y w x y w x y w x y w x s s 2 arctan 2 arctan 2 2 2 ln 4 2 0 2 2 2 0     x y e e 2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为 a，面电荷密度 为 S  ，位于 z = 0 平面，且盘心与原点重合，试求圆盘 轴线上任一点电场强度 E。 习题图 2-9 o x y z r dr P(0,0,z)

解如图2-9所示，在圆盘上取一半径为r，宽度为dr的圆环，该圆环具有的电荷量为dq=2mrdrp。由于对称性，该圆环电荷在≥轴上任一点P产生的电场强度仅的r有=分量。根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P产生的电场强度的≥分量为zrp,drdE.280(r2 +2 )/2那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为 (a-280(==2+a22-10已知电荷密度为Ps及-Ps的两块无限大面电荷分别位于×=0及x1平面，试求x>1,0<x<1及x<0区域中的电场强度解无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x=0平面内的无限大面电荷Ps，在x<0区域中产生的电场强度E=-e,E，在x>0区域中产生的电场强度Et=e,E。位于x=1平面内的无限大面电荷-Ps，在x<1区域中产生的电场强度E=e,Ez，在x>1区域中产生的电场强度E, =-e,E, .由电场强度法向边界条件获知，coEt -oE =Pl-0CoE -E =-Pl=-0即G0E, +6E =Pl-o--0E, -0E, =-P,-E=B -由此求得根据叠加定理，各区域中的电场强度应为E=E +E =-e,E +e,E, =0, x<027

27 解 如图 2-9 所示，在圆盘上取一半径为 r ，宽度为 dr 的圆环，该圆环具 有的电荷量为 s dq  2r dr 。由于对称性，该圆环电荷在 z 轴上任一点 P 产生的电场强度仅的 r 有 z 分量。根据习题 2-7 结果，获知该圆环电荷在 P 产生的电场强度的 z 分量为   3 2 2 2 2 0 d d r z zr r E s z     那么，整个圆盘电荷在 P 产生的电场强度为                 2 2 0 0 3 2 2 2 0 2 d 2 z a z z z z r zr r s z a s z     E e e 2-10 已知电荷密度为 S  及  S  的两块无限大面电荷分别位于 x = 0 及 x = 1 平面，试求 x 1, 0  x 1 及 x  0 区域中的电场强度。 解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限 大平面，且分别指向两侧。因此，位于 x = 0 平面内的无限大面电荷 S  ， 在 x < 0 区域中产生的电场强度 1 xE1 E  e  ，在 x > 0 区域中产生的电场 强度 1 xE1 E  e  。位于 x = 1 平面内的无限大面电荷 S ，在 x < 1 区域中 产 生 的 电 场 强 度 2 xE2 E  e  ， 在 x > 1 区 域 中 产 生 的 电 场 强 度 2 xE2 E  e  。 由电场强度法向边界条件获知， 0 1 0 1 0     x E E s   0 2 0 2 0      x E E s   即 0 1 0 1 0   x E E s   0 2 0 2 1     x E E s   由此求得 0 1 2 2 s E  E  根据叠加定理，各区域中的电场强度应为  1  2   1  2  0,  0   E E x x x E E E e e

Ps0<x<1E-E+E =e,E+e,E,GOE=Ef+E, =e,E -e,E, =0, x>12-11若在球坐标系中，电荷分布函数为[o,0<r<ap=↓10-, a<r<b[o,r>b试求0<r<a,a<r<b及r>b区域中的电通密度D解作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知fp-ds=-=D=%e,式中q为闭合面S包围的电荷。那么在0<r<a区域中，由于q=0，因此D=0。在a<r<b区域中，闭合面S包围的电荷量为q=[pdv=10×r(2-αl)D-a)因此，3r2在r>b区域中，闭合面S包围的电荷量为q=[,pdv=10-×(63-a)D-10(6-2)e因此,32-12若带电球的内外区域中的电场强度为[%, r>aE=e,r<a试求球内外各点的电位。解在r<a区域中，电位为0(0)='E-dr='E-dr+'E-dr=%(a2-r)+28

28 , 0 1 0  1  2  1  2      E E x s x x   E E E e e  1  2  1  2  0, 1   E E x x x E E E e e 2-11 若在球坐标系中，电荷分布函数为               r b a r b r a 0, 10 , 0, 0  6 试求 0  r  a, a  r  b 及 r  b 区域中的电通密度 D。 解 作一个半径为 r 的球面为高斯面，由对称性可知 r D s D e 2 4 d r q q s       式中 q 为闭合面 S 包围的电荷。那么 在 0  r  a 区域中，由于 q = 0，因此 D = 0。 在 a  r  b 区域中，闭合面 S 包围的电荷量为   6 3 3 3 4 q dv 10 r a v         因此，   r D e 2 6 3 3 3 10 r r a   在 r  b 区域中，闭合面 S 包围的电荷量为   6 3 3 3 4 q dv 10 b a v         因此，   r D e 2 6 3 3 3 10 r b  a   2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为           r a a qr r a r q , , 2 r E e 试求球内外各点的电位。 解 在 r a 区域中，电位为     a q a r a q r a a r r               2 2 2  E dr E dr E dr

在r>a区域中，0()=E-dr=2-13已知圆球坐标系中空间电场分布函数为[r,r≤aE=erigr≥aT试求空间的电荷密度。解利用高斯定理的微分形式V·E，得知在球坐标系中0)=60V.E-0(E)那么，在r≤a区域中电荷密度为2品(0)=5eorp0)=0%在r≥a区域中电荷密度为0)=(6)=02-14已知真空中的电荷分布函数为Jr,osrsap(r)-[o, r>a式中产为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。解由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理fE-ds=1= E4m* =16060在0≤r≤a区域中q=Jp(0)dv=,4m22dr=m5E=er4m5m605元在r>a区域中q=J,o(r)dv=4m2r dr=ms29

29 在 r a 区域中，   r q r r       E dr 2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为         r a r a r r a , , 2 5 3 r E e 试求空间的电荷密度。 解 利用高斯定理的微分形式 0    E  ，得知在球坐标系中     Er r r r r 2 0 0 2 d 1 d    E   那么，在 r a 区域中电荷密度为     2 0 5 0 2 5 d 1 d r r r r  r     在 r  a 区域中电荷密度为     0 d 1 d 5 0 2  a  r r  r  2-14 已知真空中的电荷分布函数为         r a r r a r 0, , 0 ( ) 2  式中 r 为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。 解 由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理 0 2 0 d 4    q E r q s      E s 在 0  r  a 区域中   5 0 2 2 5 4 q r dv 4 r r dr r r v         r r r r r E e e 0 3 0 5 2 5 1 5 4 4 1       在 r a 区域中   5 0 2 2 5 4 q r dv 4 r r dr a a v        

51E=er4mg5m60562-15已知空间电场强度E=3e,+4e，-5e，，试求（0,0.0）与（1,1,2）两点间的电位差。解设PI点的坐标为（0,0,0），P2点的坐标为（1,1,2,），那么，两点间的电位差为V=I'E.dl式中E=3e,+4e,-5e，dl=e,dx+e,dy+ed，因此电位差为V=Ja)(3dx+4dy-5d:)=-3(V)2-16已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b。若填充介质的相对介电常数s，=2。试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内外导体半径之比。解已知若同轴线单位长度内的电荷量为9，则同轴线内电场强度E=e。为了使同轴线获得最高耐压，应在保持内外导体之间的电2元位差√不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面r=α处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电容为2元82元8G=4=则同轴线内导体表面r=α处电场强度为CE(a) =g1a令b不变，以比值当为变量，对上式求极值，获知当比值台=e时, E(a)取得最小值，即同轴线获得最高耐压。2-17若在一个电荷密度为p，半径为α的均匀带电球中，存在一个半径30

30 r r r a a r E e e 0 2 5 0 5 2 5 1 5 4 4 1       2-15 已知空间电场强度 x y z E  3e 4e 5e ，试求（0,0,0）与（1,1,2）两 点间的电位差。 解 设 P1 点的坐标为（0,0,0,）, P2点的坐标为（1,1,2,），那么，两点间的 电位差为    2 1 d P P V E l 式中 3 4 5 , d dx dy dz x y z x y z E  e  e  e l  e e e ，因此电位差为       3d 4d 5d 3V 1,1,2 0,0,0       V x y z 2-16 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为 a，外导体的内半径为 b。若填 充介质的相对介电常数  2 r  。试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获 得最高耐压，内外导体半径之比。 解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为 q 1，则同轴线内电场强度 r E e r q 2 1  。为了使同轴线获得最高耐压，应在保持内外导体之间的电 位差 V 不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内 导体表面 r a 处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电容为 V a b q a V b q C                 ln 2 ln 2 1 1 1   则同轴线内导体表面 r a 处电场强度为               a b a b b V a b a V E a ln ln ( ) 令 b 不变，以比值 a b 为变量，对上式求极值，获知当比值 e a b  时， Ea 取得最小值，即同轴线获得最高耐压。 2-17 若在一个电荷密度为  ，半径为 a 的均匀带电球中，存在一个半径