西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）9.3 全微分

§93全微分 全微分的定义 兰二、全微分在数值计算中的应用

§9.3 全微分 *二、全微分在数值计算中的应用 一、全微分的定义

全微分的定义 对一元函数:u=f(x) 给自变量增量:x 有增量:An=f(x+1x)-f( AAx+(Ar) 定义微分:d=df=AAx(线性主部) (称可微) d dx=f(x)da (用黑板向右推广到多元函数) 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 一、全微分的定义 对一元函数：u = f ( x ) = Ax + o(x ) 定义微分： du = d f = Ax （称可微） 给自变量增量： x 有增量： x x u d d d = （线性主部） = f (x)dx （用黑板向右推广到多元函数）

对多元函数:l=f(x,y) 给自变量增量:x 给y 有偏增量:4n=f(x+At,y)-f(xy)4=f(xy+4y)-f(x,y) AAx+o(r) BAy+o(Ay) 有偏微分:d.u-=AAx d,u= Bay d 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 对多元函数 ：u = f ( x, y ) = Ax + o(x) 有偏微分： d u A x x =  给自变量增量： x 有偏增量： x x u d   = = By + o(y) d u B y y =  y y u d   = 给 y

再对多元函数:l=f(x,y) 给自变量增量:(x,y 有全增量:Al=f(x+4x,y+4y)-f(x,y) =A1x+By+0(p),P=√(Ax)2+(△y) 定义全微分:dl=df=AAx+BAy(见P19全微分定义) (称可微) au dx+dy(后面的结论) 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 再对多元函数：u = f ( x, y ) = Ax + By + o( ) , 定义全微分： du = d f = Ax + By （称可微） 给自变量增量：( x , y) 有全增量： y y u x x u d d   +   = （后面的结论） （见P19全微分定义）

多元函数在一点可微、可导、连续之间的关系 lim Az= lim[(AAx+BAy)+o(p)=0 0→ △y→>0 得imf(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x→>0 △y->0 即函数二=(x,y在点(x,y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 (1)函数可微,偏导数存在 (2)偏导数连续 函数可微 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） (2) 偏导数连续 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) lim( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 二、多元函数在一点可微、可导、连续之间的关系 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即