·16· 传感器技术设计与应用 因为 9e号(p时mp） 以及 cosp+jsin=(Veos2p+sin2p)∠p=∠p 因此 Gm (2-15) 上式说明，在任何频率。下复数GUo)的大小在数值上等于幅值号，幅角p(一股 为负值)则是输出滞后于输入的角度， 常见测量装置的频率响应：一般来说，实际的测量装经过简化后，大部分都可抽 象为理想化的一阶和二阶系统。因此，我们有必要研究这些理想化的系统或环节的动态 响应特性。 ①零阶传感器：对照传递函数方程式(2-5)，零阶传感器的系数只剩下a,与，两个 于是，式(25)变为 doy=bx 即 (2-16) 式中，k为静态灵敏度。式(2-16)表明，零阶系统的输入量无论随时间如何变化 其输出量幅值总是与输入量成确定的比例关系，在时间上也不滞后，幅角等于零。电 位器式传感器就是零阶系统传感器的例。 ②一阶传感器：对于一阶传感器，由式(2-5)知除系数a,、a,、6外其他系数均 为零，因此可写为 密+w-好
·16· 因为 j t ( ) j t Be Ae + = B A j e = B A （ cos +j sin ） 以及 cos +j sin =（ 2 2 cos sin + ） = 因此 ( ) ( ) ( ) y j B G j x j A = = （2-15） 上式说明，在任何频率 下复数 G j ( ) 的大小在数值上等于幅值 B A ，幅角 （一般 为负值）则是输出滞后于输入的角度。 常见测量装置的频率响应：一般来说，实际的测量装置经过简化后，大部分都可抽 象为理想化的一阶和二阶系统。因此，我们有必要研究这些理想化的系统或环节的动态 响应特性。 ① 零阶传感器：对照传递函数方程式（2-5），零阶传感器的系数只剩下 0 a 与 0 b 两个， 于是，式（2-5）变为 0 0 a y b x = 即 0 0 b y x kx a = = （2-16） 式中，k 为静态灵敏度。式（2-16）表明，零阶系统的输入量无论随时间如何变化， 其输出量幅值总是与输入量成确定的比例关系，在时间上也不滞后，幅角 等于零。电 位器式传感器就是零阶系统传感器的一例。 ② 一阶传感器：对于一阶传感器，由式（2-5）知除系数 1 a 、 0 a 、 0 b 外其他系数均 为零，因此可写为 1 0 0 dy a a y b x dt + =
第2章传感器的基本特性与测量误差 17 上式两边各除以a,得到 县盘4会 或者写成为 9。k x5+1 (2-17) 式中，t为时间常数(r=a/a,);k为静态灵敏度(k=b/ab于是，一阶传感 器的频率响应为 k k 幅值比为 (2-18) 相位角为 6=tan(-or) (2-19) 由弹簧和阻尼器组成的机械系统是典型的一阶传感器的实例，如图2-8()所示。图 2-8b)是这种系统的幅相特性。幅相比又称为“增益”。 Bx(D) 77777777901 ( 阶传感器 (6) 阶传感器的幅相特性
2 ·17· 上式两边各除以 0 a ,得到 1 0 0 0 a dy b y x a dt a + = 或者写成为 ( ) ( ) 1 y s k x s s = + （2-17） 式中， 为时间常数（ 1 0 = a a/ ）；k 为静态灵敏度（ 0 0 k b a = / ）。于是，一阶传感 器的频率响应为 1 2 ( ) tan ( ) ( ) 1 ( ) 1 y j k k x j j − = = − + + 幅值比为 2 ( ) | | ( ) ( ) 1 B y j k A x j = = + （2-18） 相位角为 1 tan ( ) − = − （2-19） 由弹簧和阻尼器组成的机械系统是典型的一阶传感器的实例，如图 2-8(a)所示。图 2-8(b)是这种系统的幅相特性。幅相比又称为“增益
18 传感器技术设计与应用 图2-8弹簧和阻尼组成的机械系统 此系统的传递函数微分方程为 cy+ry=box 式中，c为阻尼系数；r为弹簧常数。经过变换就可以得到如式(217)的通式或下式 ty+y=k 式中，x为时间常数(=)：k为静态灵敏度(=b1r。从而可以推导得出频率响 应方程、幅值比以及相位角 表达式，如式(2-18人(219)。相位角表达式中负号表示相位滞后。可以看出，时 间常数越小，系统的频率响应特性越好，要时间常数小，就要求系统的阻尼系数小些 弹簧网刚度适当大些。 除了弹簧-阻尼器系统外，属于一阶系统的还有RC滤波线路、液体温度计等。 ③二阶传感器：在式（2-5)中，若除，a1,a和b外，其他系数都等于零，则 得出 a票+a密+ay= 式中，系数面，1，配，b都是由测量装置本身的参数所确定的常数。由这四个系 数可以归纳出表征测量装置动态特性的三个主要参数，即 静态灵敏度k a 有输入输出的量纲：
·18· 图 2-8 弹簧和阻尼组成的机械系统 此系统的传递函数微分方程为 . 0 c y ry b x + = 式中，c 为阻尼系数；r 为弹簧常数。经过变换就可以得到如式（2-17）的通式或下式 . y y kx + = 式中， 为时间常数（=c/r）；k 为静态灵敏度（= / 0 b r ）。从而可以推导得出频率响 应方程、幅值比以及相位角 表达式，如式（2-18）、（2-19）。相位角表达式中负号表示相位滞后。可以看出，时 间常数越小，系统的频率响应特性越好，要时间常数小，就要求系统的阻尼系数小些， 弹簧刚度适当大些。 除了弹簧-阻尼器系统外，属于一阶系统的还有 RC 滤波线路、液体温度计等。 ③二阶传感器：在式（2-5）中，若除 a0，a1，a2 和 b0 外，其他系数都等于零，则 得出 2 2 1 0 2 d y dy a a a y dt dt + + = 0 bx 式中，系数 a0，a1，a2，b0 都是由测量装置本身的参数所确定的常数。由这四个系 数可以归纳出表征测量装置动态特性的三个主要参数，即 静态灵敏度 0 0 b k a = 有输入/输出的量纲；
第2章传感器的基本特性与测量误差 ·19- 单位为1s; 阻尼比= 无量纲。 于是，二阶传感器的传递函数为 Gs)=9 k 3+2经+1 (2-20) 将此式中的复变量s用纯虚数j。代替，即得到二阶传感器的频率响应 GUo)=U回」 U受+2要11层+2受 (2-21) 幅频特性为 K IG(j@)- (2-22) F 相频特性为 25g o(@)=-tan- (2-23) ”1-2 上述两式所表示的特性曲线族如图2-9所示，从图2-9(a)可以看出，当w/wo的数值 较小时，对应着幅频特性曲线的平坦部分。若提高测量装置的固有频率ω。，将扩展幅 频特性曲线平坦部分的频率范围。因此，一般要求测量装置具有较高的固有频率， 以便能够精确测量含有较高频率成分的信号。由图2-9可以看出，当阻尼比（取0.60.7 左右时，幅频特性曲线平坦部分的频率范围最宽，而相频特性曲线在最宽的频率范围内
2 ·19· 固有频率 0 0 2 a a = 单位为 1/s； 阻尼比 ξ= `1 0 2 2 a a a 无量纲。 于是，二阶传感器的传递函数为 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 y s k G s x s s s = = + + （2-20） 将此式中的复变量 s 用纯虚数 j 代替，即得到二阶传感器的频率响应： 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 1 ( ) 2 ( ) y j k k G j = x j j j j = = + + − + （2-21） 幅频特性为 2 2 2 0 0 | ( ) | 2 [1 ( ) ] ( ) K G j = − + （2-22） 相频特性为 1 0 2 0 2 ( ) ( ) tan 1 ( ) − = − − （2-23） 上述两式所表示的特性曲线族如图 2-9 所示。从图 2-9(a)可以看出，当ω/ω0 的数值 较小时，对应着幅频特性曲线的平坦部分。若提高测量装置的固有频率ω0，将扩展幅 频特性曲线平坦部分的频率范围。因此，一般要求测量装置具有较高的固有频率ω 0， 以便能够精确测量含有较高频率成分的信号。由图 2-9 可以看出，当阻尼比 ζ 取 0.60.7 左右时，幅频特性曲线平坦部分的频率范围最宽，而相频特性曲线在最宽的频率范围内
·20: 传感器技术设计与应用 近似于直线。因此，二阶测量装置大多采用0.60.7范围的值。当然，也有些例外（如 某些压电式传感器的（值小于0.01， Gi) C0. 0. 1-0.4 0.6 =1.0 多 C-0.3 01 0.20.30.5 2.03.0 )幅领特性 b)相顿特性 图2-9二阶测量装置的频率响应 (2)阶跃输入时的时域响应。 研究传感器动态特性的另一方法是输入某些典型的瞬变信号，然后研究装置对这种 输入的时域响应，从而确定它的动态特性。 ①一阶传感器的阶跃响应：对于一阶系统的传感器，假设在0时，xy=0;当0 时，输入量瞬间突变到A值（图2-10(）)，此时一阶齐次微分方程的通解，根据式(2-8) 可得 方=e 而一阶非齐次方程的特解为片=A（t>0时)，因此
·20· 近似于直线。因此，二阶测量装置大多采用 0.60.7 范围的 ζ 值。当然，也有些例外（如 某些压电式传感器的 ζ 值小于 0.01）。 图 2-9 二阶测量装置的频率响应 （2）阶跃输入时的时域响应。 研究传感器动态特性的另一方法是输入某些典型的瞬变信号，然后研究装置对这种 输入的时域响应，从而确定它的动态特性。 ① 一阶传感器的阶跃响应：对于一阶系统的传感器，假设在 t=0 时，x=y=0；当 t>0 时，输入量瞬间突变到 A 值（图 2-10(a)），此时一阶齐次微分方程的通解，根据式（2-8） 可得 1 t y ke − = 而一阶非齐次方程的特解为 2 y A = （t>0 时），因此