第2章传感器的基本特性与测量误差 ·11· 吃 由极差和极差系数求得标准偏差。后，即可计算出重复性误差2。这种方法的计算 工作量较少。 表21级差系数与测量次数的对应关系 2.1.1.5分辨率和灵敏限 (1)分辨率：分辨率表征的是测量装置可能检测出被测信号的最小变化的能力，有 时又称为分辨能力。当输入量从某个任意值（非零值）缓慢增加，直至可以观测到输出 量的变化时为止的输入增量即为测量装置的分辨率。分辩率可用绝对值也可用满度 (F.S)的百分比来表示 (2)灵敏限：灵敏限的定义与分辨率很接近，但有区别。如果测量装置的输入量从 零起缓慢地增加，当输入量小于某个最小限值时不会引起输出量的变化，一旦超过这个 最小限值，则将引起输出量的变化，这个最小限值叫做灵敏限。一般说来，灵敏限的具 体数值是难以明确测定的。 2.1.2传感器的动态特性 动态特性是指传感器对于随时间变化的输入量的响应特性。实际被测量随时间变化 的形式是各种各样的，在研究动态特性时通常根据标准输入特性来考虑传感器的响应特
2 ·11· n n w d = 由极差和极差系数求得标准偏差 后，即可计算出重复性误差 δz。这种方法的计算 工作量较少。 表 2-1 级差系数与测量次数的对应关系 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dn 1.41 1.91 2.24 2.48 2.67 2.88 2.96 3.08 3.18 2.1.1.5 分辨率和灵敏限 （1）分辨率：分辨率表征的是测量装置可能检测出被测信号的最小变化的能力，有 时又称为分辨能力。当输入量从某个任意值（非零值）缓慢增加，直至可以观测到输出 量的变化时为止的输入增量即为测量装置的分辨率。分辨率可用绝对值也可用满刻度 （F.S）的百分比来表示。 （2）灵敏限：灵敏限的定义与分辨率很接近，但有区别。如果测量装置的输入量从 零起缓慢地增加，当输入量小于某个最小限值时不会引起输出量的变化，一旦超过这个 最小限值，则将引起输出量的变化，这个最小限值叫做灵敏限。一般说来，灵敏限的具 体数值是难以明确测定的。 动态特性是指传感器对于随时间变化的输入量的响应特性。实际被测量随时间变化 的形式是各种各样的，在研究动态特性时通常根据标准输入特性来考虑传感器的响应特
·12· 传感器技术设计与应用 性。标准输入有两种：呈正弦变化和阶跃变化的输入。传感器的动态特性分析和动态标 定都以这两种标准输入状态为依据。对于任一传感器，只要输入量是时间的函数，则其 输出量也应是时间的函数， 2.1.21动态特性的一般数学模型 实际的测量装置一般都能在一定程度和一定范围内看成常系数线性系统。因此，通 常认为可以用常系数线性微分方程来描述输入与输出的关系。对于任意线性系统，其数 学模型的一般表达式为 a+a++a密+a=6+6++%空+(25) 式中，y为输出量；x为输入量；T为时间；a,4,a,为仅取决于测量装置本身特性的常 数：么4,4.为仅取决于测量装置本身特性的常数：票为输出量对时间的阶号数： 票为输入量对时间：的价得数 如果用算子D代表ddt时，式(15)可改写成 (aD°+aD++aD+ay=(6D+bD++hD+4x（2-6) 对于此类微分方程式，可用经典的D算子方法求解，也可以用拉氏变换方法求解。 用D算子方法解上述非齐次阶常微分方程式(2-6)时，方程式的解由通解和特 解两部分组成，即 y=片+为 （2-7)
·12· 性。标准输入有两种：呈正弦变化和阶跃变化的输入。传感器的动态特性分析和动态标 定都以这两种标准输入状态为依据。对于任一传感器，只要输入量是时间的函数，则其 输出量也应是时间的函数。 2.1.2.1 动态特性的一般数学模型 实际的测量装置一般都能在一定程度和一定范围内看成常系数线性系统。因此，通 常认为可以用常系数线性微分方程来描述输入与输出的关系。对于任意线性系统，其数 学模型的一般表达式为 1 1 1 0 1 . n n n n n n d y d y dy a a a a y dt dt dt − − − + + + + = 1 1 1 0 1 . m m m m m m d x d x dx b b b b x dt dt dt − − − + + + + （2-5） 式中, y 为输出量； x 为输入量；T 为时间； 0 1 , ., n a a a 为仅取决于测量装置本身特性的常 数； 0 1 , ., m b b b 为仅取决于测量装置本身特性的常数； n n d y dt 为输出量对时间的 n 阶导数； m m d x dt 为输入量对时间 t 的 m 阶导数。 如果用算子 D 代表 d/dt 时，式（1-5）可改写成 1 1 1 0 ( . ) n n n n a D a D a D a y − + + + + − 1 1 1 0 ( . ) m m m m b D b D b D b x − = + + + + − （2-6） 对于此类微分方程式，可用经典的 D 算子方法求解，也可以用拉氏变换方法求解。 用 D 算子方法解上述非齐次 n 阶常微分方程式（2-6）时，方程式的解由通解和特 解两部分组成，即 1 2 y y y = + （2-7）
第2章传感器的基本特性与测量误差 ·13- 式中y1为通解；y2为特解 由特征方程式a,D心+aD++aD+a,=0,可以求出通解。其根有四种情况： （1)1,.n都是实数，并目无重根，通解为 片=ke"+ke+.+ke (2-8) （2)根r1.,都是实数，但其中有p个重根，因此，有r二.Tp于是通 解为 =(C+C!++C)e"+ke+.+e (2-9) （3)根r1,2n中无重根，但有共轭复根，并设r1=a+jb,r2=ajb,则通解为 y =ke"sin(bt+)+ke"+.+ke (2-10)） （4)含有p个共轭复重根，即有r1=T2=.=可-at+jb,1=可p+2三=p=a-b 这时，通解为： =(C+C++C)e"sin(b++ke++e (2-11) 在上述各种情况下，根据待定系数法就可求出特解y2。 2.1.2.2传递函数 在分析、设计和应用传感器时，传递函数的概念很有用。传递函数的定义是在初始 条件为零时输出函数拉氏变换对输入函数拉氏变换之比，用G(s)表示， G6)=-b产+b++s+么 x)a,s°+an-+.+a3+a （2-12) 式中，s为拉氏变换中的复变量：y($)为初始条件为零时，测量装置输出量的拉普拉
2 ·13· 式中 y1 为通解；y2 为特解。 由特征方程式 1 1 1 0 . 0 n n n n a D a D a D a − + + + + = − ，可以求出通解。其根有四种情况： （1）r1,r2.rn 都是实数，并且无重根，通解为 1 2 1 1 2 . n rt r t r t n y k e k e k e = + + + （2-8） （2）根 r1,r2.rn，都是实数，但其中有 p 个重根，因此，有 r1=r2=.=rp 于是通 解为 1 1 1 2 ( . ) . n p n p rt r t r t p n p n y C C t C t e k e k e − − = + + + + + + − （2-9） （3）根 r1,r2.rn 中无重根，但有共轭复根，并设 r1=a+jb, r2=a-jb，则通解为 3 1 3 sin( ) . n at r t r t n y ke bt k e k e = + + + + （2-10） （4）含有 p 个共轭复重根，即有 r1=r2=.=rp=a+jb，rp+1=rp+2=.=r2p=a-jb 这时，通解为： 1 2 1 1 2 2 ( . ) sin( ) . n p n p at r t r t p n p n y C C t C t e bt k e k e − − = + + + + + + + − （2-11） 在上述各种情况下，根据待定系数法就可求出特解 y2。 2.1.2.2 传递函数 在分析、设计和应用传感器时，传递函数的概念很有用。传递函数的定义是在初始 条件为零时输出函数拉氏变换对输入函数拉氏变换之比，用 G(s)表示， 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) . ( ) ( ) . m m m m n n n n y s b s b s b s b G s x s a s a s a s a − − − − + + + + = = + + + + （2-12） 式中，s 为拉氏变换中的复变量；y(s)为初始条件为零时，测量装置输出量的拉普拉
·14· 传感器技术设计与应用 斯变换式；XS)为初始条件为零时，测量装置输入量的拉普拉斯变换式， 传递函数G(s)表达了测量装置本身固有的动态特性。当知道传递函数之后，就可以 由系统的输入量按式(212)示出，其输出量（动态响应）的拉式变换，在通过求逆变换 可得其输出量y(t。此外，传递函数并不表明系统的物理性质。许多物理性质不同的 测试装置，可以由相同的传递函数，因此通过对传递函数的分析研究，能统一处理各种 物理性质不同的线性测量系统。 2.123动态响应 通常，输入信号并非任意形状，为了便于研究传感器的动态性能，可以对输入信号 作适当规定。下面分析在正弦输入和阶跃输入情况下的动态响应。 （1)正弦输入时的频率响应。 频率响应函数：输入信号是正弦波x(t)=Asinwt(见图2-6)时，输出信号y()的模 型是：由于暂态响应的影响，开始并不是正弦波，随着时间的增长，暂态响应部分逐渐 衰减以至消失，经过一定时间后，只剩下正弦波。输出量y()与输出量x)的频率相同， 但幅值不等，并有相位差，即y)Bsi(ot+p)。因此，输入信号振幅A即使一定，只要 ®有所改变，输出信号的振幅和相位也会发生变化。所谓频率响应，就是在稳定状态下 B/A幅值比和相位比p随a而变化的状况. 在正弦输入下用j。代替公式(2-12)中的复变量s,即可得到传感器的频率传递函
·14· 斯变换式；x(s)为初始条件为零时，测量装置输入量的拉普拉斯变换式。 传递函数 G(s)表达了测量装置本身固有的动态特性。当知道传递函数之后，就可以 由系统的输入量按式(2-12)示出，其输出量（动态响应）的拉式变换，在通过求逆变换 可得其输出量 y（t）。此外，传递函数并不表明系统的物理性质。许多物理性质不同的 测试装置，可以由相同的传递函数，因此通过对传递函数的分析研究，能统一处理各种 物理性质不同的线性测量系统。 2.1.2.3 动态响应 通常，输入信号并非任意形状，为了便于研究传感器的动态性能，可以对输入信号 作适当规定。下面分析在正弦输入和阶跃输入情况下的动态响应。 （1）正弦输入时的频率响应。 频率响应函数：输入信号是正弦波 x（t）=Asinwt（见图 2-6）时,输出信号 y(t)的模 型是：由于暂态响应的影响，开始并不是正弦波，随着时间的增长，暂态响应部分逐渐 衰减以至消失，经过一定时间后，只剩下正弦波。输出量 y(t)与输出量 x(t)的频率相同， 但幅值不等，并有相位差，即 y(t)=Bsin(ωt+φ)。因此，输入信号振幅 A 即使一定，只要 有所改变，输出信号的振幅和相位也会发生变化。所谓频率响应，就是在稳定状态下 B/A 幅值比和相位比 φ 随 而变化的状况。 在正弦输入下用 j 代替公式（2-12）中的复变量 s，即可得到传感器的频率传递函
第2章传感器的基本特性与测量误差 ·15- 数为 GUo)-)b+bo)h (2-13) x(j@)a(jo)"+a(j)+.+a(jo)+do 式中，j为√万；。为角频率 对于任意给定频率。，方程式(2-13)具有复数形式，用复数来处理频率响应问题 时，表达式甚为简单。为此用Ae代替图2-6中的输入信号Asinot,在稳定情况下， 输出信号就是B+p,可以用极坐标形式表示这个复数，其中A"是大小为A的矢量， 在复数平面上以角速度a绕原点旋转。Be则是大小为B的分量，以相同角速度旋 转，但相位差为。，见图2-7所示.图中4cos0m和Bcos(0m+)分别为上述二矢量在实 轴上的投影。 Asin of→传感器→Bsin(o+) 时间藩后 Be sin ot B+) 实轴 图2-6正弦输入时的频率响应 图2-7输入与输出的复数表示法 把x=Ae,y=Be代入式(2-13)，便得频率响应的通式 GUa-Be”Uor+6Uo++Uo+2 a(jo)"+a(jo)+.+a(jo)+a (2-14)
2 ·15· 数为 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) m m m m n n n n y j b j b j b j b G j x j a j a j a j a − − − − + + + + = = + + + + （2-13） 式中，j 为 −1 ； 为角频率。 对于任意给定频率 ，方程式（2-13）具有复数形式，用复数来处理频率响应问题 时，表达式甚为简单。为此用 j t Ae 代替图 2-6 中的输入信号 A t sin ，在稳定情况下， 输出信号就是 j t ( ) Be + 。可以用极坐标形式表示这个复数。其中 j t Ae 是大小为 A 的矢量， 在复数平面上以角速度 绕原点旋转。 j t ( ) Be + 则是大小为 B 的分量，以相同角速度旋 转，但相位差为 ，见图 2-7 所示。图中 A t cos 和 B t cos( ) + 分别为上述二矢量在实 轴上的投影。 图 2-6 正弦输入时的频率响应 图 2-7 输入与输出的复数表示法 把 j t x Ae = ， j t ( ) y Be + = 代入式（2-13），便得频率响应的通式 ( ) 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) j t m m m m j t n n n n Be b j b j b j b G j Ae a j a j a j a + − − − − + + + + = = + + + + （2-14）