复变函数与积分变换试题与答案 题判断(每题2分,共10分,请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”) f(z)=sinz是有界函数 2、函数f()=e是以2xi为周期的周期函数。 3、如果二0是f()的奇点,则f(-)在不可导。 4、若函数f(-)在=处解析,则f(z)也在二解析 5、、的若u(x,y)与vx,y)都是调和函数,则f(=)=l(x,y)+n(x,y)是解析函 二、填空题(每题4分,共16分) 1、设 则|= ,arg a 2、(1+i) 3、Ln(-3i) ,,主值ln(-3i) 4、f(1)=t2+le'+esin6,则f(1)的拉氏变换是 三、解答题(8分+12分=20分) 1、求∫(x2+)t,其中C是沿曲线y=x2由点=0到点==1+1 2、根据R的取值不同,讨论并计算积分 的值。其中C是不 二+1)(二-2) 经过z=-1和z=2的正向圆周|z|=R(R>0)
复变函数与积分变换试题与答案 一、题判断（每题 2 分，共 10 分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”） 1、 = sin)( zzf 是有界函数 。 （ ） 2、函数 是以 z )( = ezf 2π i 为周期的周期函数。 ( ) 3、如果 z0是 (zf )的奇点，则 (zf )在 不可导。 z0 （ ） 4、若函数 在 处解析，则 也在 解析。 ( )zf z0 n)( zf )( z0 （ ） 5、、的若 ( ) , yxu 与 ( , yxv )都是调和函数，则 ( ) = ( ) ( + ,, yxivyxuzf ) 是解析函 数 。 ( ) 二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 1、设 z = i i 1+ 2 则 | z | = ，arg z 。 2、 =+ 6 i)1( ， =+ i ( i)1 。 3、 Ln（－3 i ）= ，主值 ln（－3 i ）= 。 4、 tetettf ，则 的拉氏变换是 tt )( 6sin 2 2 ++= tf )( 。 三、解答题（8 分+12 分=20 分） 1、求∫ + ，其中 C 是沿曲线 由点 c )( dziyx 2 2 = xy z = 0 到点 1+= iz 2、根据 R 的取值不同，讨论并计算积分 ∫ −+ c zzz dz )2)(1( 2 的值。 其中 C 是不 经过 z = -1 和 z = 2 的正向圆周 | z | = R ( R > 0 )
四、解答题(每题8分,共16分) 1、已知(x,y)=y3-3x2y是调和函数,求其共轭调和函数v(x,y), 2、f(x)=x2-在何处可导?何处解析?并在可导处求f(z)
四、解答题（每题 8 分，共 16 分） 1、已知 yxyyxu 是调和函数，求其共轭调和函数 ， 23 −= 3),( yxv ),( 2、 −= iyxzf 2 )( 在何处可导? 何处解析？ 并在可导处求 ′ zf )( . A —１
五、解答题(1、2题每题8分,3题6分,共22分) 1、求将单位圆|z|<1内保形映照到单位圆|w|<1内,且满足∫()=0, ag/()=z的分式线性映照 、将f()= (二-1)(=-3) 在1<|z|<3上展开成罗朗级数。 3、指出f(x)= 在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点处的留数
五、 解答题（1、2 题每题 8 分，3 题 6 分，共 22 分） 1、求将单位圆 | z | < 1 内保形映照到单位圆 | w | < 1 内， 且满足 0) 2 1 f ( = ， 2 ) 2 1 (arg π f ′ = 的分式线性映照。 2、将 )3)(1( 1 )( −− = zz f z 在 1< | z | < 3 上展开成罗朗级数。 3、指出 4 2 1 )( z e zf z − = 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数 A —２
六、计算题(每题8分,共16分) 1、求正弦函数f(1)= sin t.t的傅氏变换。 2、利用拉氏变换求解微分方程 答案 、题判断(每题2分,共10分,请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”) 1、f()=sinz是有界函数。 2、函数f(二)=e是以2xi为周期的周期函数。 3、如果=0是f()的奇点,则f()在二0不可导 (×) 4、若函数∫()在=处解析,则f(()也在=解析。 5、的若u(x,y)与v(x,y)都是调和函数,则f(=)=u(x,y)+n(x,y)是解析函 数 × 二、填空题(每题4分,共16分) 则|z|=√2
六、计算题 （每题 8 分，共 16 分） 1、求正弦函数 ttf 0 = sin)( ϖ 的傅氏变换。 2、利用拉氏变换求解微分方程 ⎩ ⎨ ⎧ = ′ = ′′ + ′ =+ − 1)0()0( 34 yy eyyy t 答案 一、题判断（每题 2 分，共 10 分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”） 1、 = sin)( zzf 是有界函数 。 （ × ） 2、函数 )( = ezf z 是以2π i 为周期的周期函数。 ( √ ) 3、如果 是0 z (zf )的奇点，则 (zf )在 不可导。 z0 （ × ） 4、若函数 在 处解析，则 也在 解析。 ( )zf z0 n)( zf )( z0 （ √ ） 5、的若 ( ) , yxu 与 ( , yxv )都是调和函数，则 ( ) = ( ) ( + ,, yxivyxuzf ) 是解析函 数 。 ( × ) 二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 1、设 z = i i 1+ 2 则 | z | = 2 ，arg z = 4 π 。 A —３
(2k+)x+n2 3、Ln(-3i)=ln3+(2k ),主值ln(-3i)=l32 4、f()=t2+le'+esin6t,则f()的拉氏变换是3++6 s3(s-1)2(s-2)2+36 、计算题(每题8分,共16分) 1、求正弦函数f()= sin o.l的傅氏变换。 解:方法1 F[f()]=iro(+a0)-6(+a0 方法2 FIf(O]= sino t- e- dt ckob)t -i(o+cb )t =[2xo(+a0)-2m6(+a0 =imo(o+a0)-6(0+a0) 22n(a,“be-e=2(m) 2、利用拉氏变换求解微分方程 y(0)=y(0)=1 解::sY(s)-90(0-)y(0+4sy(s-y0+3(s)=-1 Y(s[s2+4s+3]= s+s+5→f(s)s2+6s+6 (s+1)2(s+3)
2、 =+ 6 i)1( −8i =+ i i)1( 1 (2 ) ln2 4 2 i k e −+ +π 。 3、 Ln（－3 i ）= 1 ln3 (2 ) 2 + − k πi ，主值 ln（－3 i ）= 1 ln3 2 − πi . 4、 )( 2 ++= 2tt 6sin tetettf ，则 的拉氏变换是 tf )( 32 2 21 6 ss s ( 1) ( 2) 36 + + − − + 。 三、计算题 （每题 8 分，共 16 分） 1、求正弦函数 ttf 0 = sin)( ϖ 的傅氏变换。 解：方法 1 F 0 [ ( )] ft iπ[ ( + ) ( + )] 0 = − δ ω ϖ δω ϖ 方法 2 F 0 [ ( )] sin i t f t te ω ϖ +∞ − −∞ = ⋅ ∫ dt 0 0 1 () () [ 2 i ti t e e i ωω ωω +∞ −− −+ −∞ = − ∫ ]dt 0 1 [2π ( + ) 2 ( + )] 2i = − δ ω ϖ πδ ω ϖ 0 0 0 = − iπ[ ( + ) ( + )] δ ω ϖ δω ϖ ( 0 1 2( ) 2π it it ed e ω ω πδ ω ϖ ω +∞ −∞ − = Q ∫ 0 ( ) 0 2( i t e dt ω ω πδω ϖ ) +∞ − − −∞ ∴ = − ∫ ) 2、利用拉氏变换求解微分方程 ⎩ ⎨ ⎧ = ′ = ′′ + ′ =+ − 1)0()0( 34 yy eyyy t 。 解：Q 2 1 ( ) (0) '(0) 4[ ( ) (0)] 3 ( ) 1 s Y s sy y sY s y Y s s − −+ − + = + ∴ 2 1 ( )[ 4 3] 5 1 Ys s s s s + + = ++ + ⇒ 2 2 6 6 ( ) ( 1) ( 3) s s Y s s s + + = + + A —４