1.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.61.2.71.2.81.2.91.2.10性质2（收敛数列的有界性）收敛数列是有界的，即，数列中的所有项的绝对值不会超过某个固定的正数证明设an}收敛于a，由定义知道，对于=1存在一个自然数N使得当n>N时,有lan-al<1,即当n>N时,有lanl<lal+1取M=max(lal+1,[ail,[a2l,.,[anl),注意到，第一，有限个数中一定能取到一个最大的第二，上面确定的M显然与n无关.则对所有自然数n，也就是数列的所有项，都有lanl≤M返回全屏关闭退出11/47
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 5 2 (Âñêk.5) Âñê´k., =, ꥤký éجL,½ê. y² {an} Âñu a, d½Â, éu ε = 1, 3g,ê N, ¦ n > N , k |an − a| < 1§= n > N , k |an| < |a| + 1. M = max(|a| + 1, |a1|, |a2|, · · · , |aN|), 5¿, 1, k꥽U; 1, þ¡(½ M w, n Ã'. Ké¤kg,ê n, Ò´ê¤k, Ñk |an| 6 M. 11/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.61.2.101.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.71.2.81.2.9性质3（数列极限的比较）设数列anl和【bnl分别收敛于a和b1°如果a< b,则当n充分大时,有 an<bn2°如果当n充分大时有an≥bn，则a≥bb-a证明1°设a<b,取ε=则由定义知，即存在正数Ni.使得2a+b当n>N时,有an<a+ε=同理, 存在 Nz. 当 n > Nz 时. 有-2bn > b- ε = ab. 所以当 n > max(Ni, N2) 时,就有 an < bn,2°这是1°的推论.证毕返回全屏关闭退出II12/47
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 5 3 (ê4') ê {an} Ú {bn} ©OÂñu a Ú b. 1 ◦ XJ a < b, K n ¿©, k an < bn. 2 ◦ XJ n ¿©k an > bn, K a > b; y² 1 ◦ a < b, ε = b−a 2 , Kd½Â, =3ê N1, ¦ n > N1, k an < a + ε = a+b 2 . Ón, 3 N2, n > N2 , k bn > b − ε = a+b 2 . ¤± n > max(N1, N2) , Òk an < bn, 2 ◦ ù´ 1 ◦ íØ. y. 12/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.11.2.61.2.101.2.21.2.31.2.41.2.51.2.71.2.81.2.91.2.3子数列从数列{an中取出无穷多项按照原来的顺序排列的数列「an称为[an] 的子数列定理1若数列[an收敛于 a,则an}的任何子列也收敛于a证明设[ank} (k ≥1)是[an} (n ≥1) 的一个子列,对于任意给定的正数 e,我们要指出,存在一个正数 K,使得 k >K 时,有[ank一al< ε事实上,由于{an} 收敛于 a,所以对于上述的 ε,一定存在一个正数 N,使得当 n>N 时,有lan -al < e.返回全屏关闭退出I4-13/47
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 1.2.3 fê lê {an} ¥ÑáõUì5^Süê {ank} ¡ {an} fê. ½n 1 eê {an} Âñu a, K {an} ?ÛfÂñu a. y² {ank} (k > 1) ´ {an} (n > 1) f, éu?¿½ ê ε, ·Ñ, 3ê K, ¦ k > K , k |ank − a| < ε ¯¢þ, du {an} Âñu a, ¤±éuþã ε, ½3ê N, ¦ n > N , k |an − a| < ε. 13/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.61.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.71.2.81.2.91.2.10因为 n1<n2<··.<nk<·.·,而且都是正整数,所以一定存在某个K,使得当k>K时,nk>N.于是,当k>K时.有lank-al< e,即 ,lim ank = a. 证毕k-α推论1若数列[an】有两个子数列分别收敛于不同的数,则an发散由此容易说明数列{(-1)"} 是发散的返回全屏关闭退出114/47
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 Ï n1 < n2 < · · · < nk < · · · , Ñ´ê, ¤±½3, K, ¦ k > K , nk > N, u´, k > K , k |ank − a| < ε, = lim k→∞ ank = a. y. íØ 1 eê {an} küfê©OÂñuØÓê, K {an} uÑ. ddN´`²ê {(−1)n} ´uÑ. 14/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.2.61.2.101.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.71.2.81.2.9收敛数列的四则运算1.2.4性质4（数列极限的四则运算）设c是常数，数列【an}和【bn】分别收敛于α和 b,则1°[an士bn收敛于a士b;2°can]收敛于ca3°[anbnl收敛于ab:4°若b≠0,则an/bnl收敛于a/b.证明1°首先对求和的情况进行证明.即要证明，对于任意的正数ε.可找到一个整数 N, 使得当 n > N 时, 有 I(an + bn)- (a + b)I < ε.由于anl,[bn 分别收敛于a 和 b,所以对于上述e，分别存在Ni 和N2使得3当n> Ni 时,有 [an -al<,返回全屏关闭退出I15/47
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 1.2.4 ÂñêoK$ 5 4 (ê4oK$) c ´~ê, ê {an} Ú {bn} ©OÂñ u a Ú b, K 1 ◦ {an ± bn} Âñu a ± b; 2 ◦ {can} Âñu ca; 3 ◦ {anbn} Âñu ab; 4 ◦ e b 6= 0, K {an/bn} Âñu a/b. y² 1 ◦ Äké¦Ú¹?1y². =y², éu?¿ê ε, éê N, ¦ n > N , k |(an + bn) − (a + b)| < ε. du {an}, {bn} ©OÂñu a Ú b, ¤±éuþã 姩O3 N1 Ú N2 ¦, n > N1 , k |an − a| < ε 2 , 15/47 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ