例1已知a={1,1,-4},b={,2,2},求(1)lb; (2)a与b的夹角;(3)在b上的投影 解(1)ab=1·1+1(-2)+(-4)2=-9 a、b.+a.b.+a.b (2)cos 2 a.2+a.2+a.2b 2 2 tatb 3π 2 (3)a·b=b|Pril:Pri= bb 3
例 1 已知a = {1,1,−4} ，b = {1,−2,2} ，求(1) a b ； (2) a 与b 的夹角；(3) a 在b 上的投影. 解 a b (1) = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = , 2 1 = − a b b j ba (3) =| | Pr 3. | | Pr = − = b a b j ab = . 4 3
例2证明向量c与向量(a·c)b-(b·c)a垂直 证I(a·c)b-(b·cd (a·c)b·c-(b·c)d =(C·b)4·c-l·c =0 (a·c)b-(b·)d⊥c
例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a ( ) − ( ) 垂直. 证 a c b b c a c [( ) − ( ) ] [(a c)b c (b c)a c] = − (c b)[a c a c] = − = 0 a c b b c a c [( ) − ( ) ]⊥
例3.设A=2l+3b,B=37-b,l=2,b=1 (a, b )=,*AB, Prj; B, PrjBA 解.A·B=(2d+3b)·(3-b) 6d2+7a·b-3b =28 4=A.A=37,B=B·B=31, A·B28 A·B28 Pr B= 37 B 31
, , Pr , Pr . 3 ( , ) 3. 2 3 , 3 , 2, 1 a b A B j B j A A a b B a b a b A B = = + = − = = 求 例 设 6 7 3 28 . (2 3 ) (3 ) 2 2 = + − = = + − a a b b A B a b a b 解 . 31 28 , Pr 37 28 Pr 37, 31, 2 2 = = = = = = = = B A B j A A A B j B A A A B B B A B
例已知a=51+20,b=p-30=2√2 q=3,a-b=√593,求a+b 解:a+b=6p-q a+b=(a+b)+b)=(6p0)6p =36p·+@q-12pq=36+q2-12pq 36×8+9-12pq 又∵-b=4p+5 a-b2=(a-b)(a-b)=(4p+50)(4+0) =16·p+254·q+40D·q 16×8+25×9+40D·q=593→pf=6 则a a+b=15
3, 593, . 5 2 , 3 , 2 2, q a b a b a p q b p q p = − = + = + = − = 求 例 已知 p p q q p q a b a b a b p q p q = + − + = + + = − − 3 6 1 2 ( ) ( ) (6 ) (6 ) 2 p q p q = 36 + − 12 2 2 a b p q 解 + = 6 − p p q q p q a b a b a b p q p q = + + − = − − = + + 1 6 2 5 4 0 ( ) ( ) (4 5 ) (4 5 ) 2 a b p q 又 − = 4 + 5 = 593 p q = 368 + 9 − 12 p q = 168 + 259 + 40 p q = 6 a + b = 15. 则
五、两向量的向量积 实例设O为一根杠杆L的支点,有一力F作用 于这杠杆上P点处.力F与OP的夹角为,力 F对支点O的力矩是一向量M,它的模 M=00F L OP‖F|sin6 M的方向垂直于OP与F所决 定的平面,指向符合右手系
设O为一根杠杆L 的支点，有一力F 作用 于这杠杆上P 点处．力F 与OP 的夹角为 ， 力 F 对支点O的力矩是一向量M ，它的模 | M | | OQ || F | = | OP || F |sin = M 的方向垂直于OP 与F 所决 定的平面, 指向符合右手系. 实例 五、 两向量的向量积 L F P Q O