第二十章 Green函数方法 说明 ★本章计划讲授学时:6 ★含时Gren函数问题(§20.5及§20.6)可 只讲一种
Green ✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 6 F ☛ ✠ Green ☞✌ ✍ ✎ (§20.5 ✏ §20.6) ✑ ✒ ✝✓✔
第二十章 Green函数方法 第1页 第二十章 Green函数方法 在第十一章“函数”中,已经初步接触过 Green函数,讨论了常微分方程 Green 函数的定义、对称性质及其求法 本章将继续这一话题,讨论偏微分方程定解问题 Green函数的概念、对称性质以 及常用的求法. 不熟悉常微分方程 Green函数的读者,应当先读“函数”那一章 ★ GrnGreen第二公式(或简称公式) 其中f(r)=f(x,y,z),dr= dxdydz,∑是V的边界面,并且规定外法线方向为正
1Ù Green¼ê{ 1 1 1Ù Green¼ê{ 31Ù/δ ¼ê0¥§®²ÐÚ>LGreen ¼ê§?Ø ~©§Green ¼ê½Â!é¡59Ù¦{© ÙòUYù{K§?Ø ©§½)¯KGreen ¼êVg!é¡5± 9~^¦{© ØÙG~©§Green¼êÖö§AkÖ/δ ¼ê0@Ù© F Green1úª(½{¡Greenúª) ZZZ V h u(r)∇ 2 v(r) − v(r)∇ 2 u(r) i dr = ZZ Σ h u∇v − v∇u i · dΣ, Ù¥f(r) ≡ f(x, y, z), dr = dxdydz, Σ´V >.¡§¿ 5½ {©
§20.1 Green函数的概念 第2页 §20.1Gre函数的概念 先举一个静电场的例子 设在无界空间中有一定的电荷分布,电荷密度为p(T).这样,在坐标为r=(x,y,2)的 体元dr内的电量即为p(r)dr’,它在空间r=(x,y,2)点的电势是 1p(r) dr 4TEo r-rl 根据电势叠加原理,把空间中的全部电荷产生的电势叠加起来,就得到在r点的总电势为 o(r) p(r) 这个结果说明,只要知道了单位点电荷在空间的电势分布,那么,通过电荷的分 割与叠加,就可以得到任意电荷分布时的电势 这种做法只不过是利用了偏微分方程的线性性质 ★如果是有界空间,原则上仍然可以把空间内的电荷无限分割. ★由于边界条件的制约,在边界面上也会有一定的(单层或偶极层的)感生面电荷分布,也 需要将这些面电荷无限分割 ★为了唯一地确定(有界空间内)点电荷的电势,也需要指定适当的边界条件 在有界空间的情形下,问题就是:如何通过(适当边界条件下的)点电荷电势的叠加,而给出任 意电荷分布和任意边界条件时的电势.这就是说,要用定解问题 V-G(r; r) r′∈V 适当的边界条件 的解G(r;r)叠加出 V-u(r) u,=f(∑) 的解u(r),即把u(r)用p(r),f(∑)以及G(r;7)表示出来 为此,我们将G(r;T)和u(r)满足的方程分别乘以u()和G(r;r),相减,再在空间V内 积分,即得 Lu(r)V-G(r; r)-G(r:r)vu(r)dr lu(r)8(r-r)-G(r; r)p(r)d
§20.1 Green¼êVg 1 2 §20.1 Green¼êVg kÞ·>|~f© 3Ã.m¥k½>Ö©Ù§>ÖÝρ(r)©ù§3Ir 0 = (x 0 , y0 , z0 ) Ndr 0S>þ=ρ(r 0 )dr 0§§3mr = (x, y, z):>³´ 1 4πε0 ρ(r 0 ) |r − r0 | dr 0 , â>³U\n§rm¥ Ü>Ö)>³U\å5§Ò3r:o>³ φ(r) = 1 4πε0 ZZZ ρ(r 0 ) |r − r0 | dr 0 . ù(J`²§ ü :>Ö3m>³©Ù§@o§ÏL>Ö© U\§Ò±?¿>Ö©Ù>³© ù«{ØL´|^ ©§55© F XJ´k.m§KþE,±rmS>Öé© F du>.^§3>.¡þ¬k½(ü½ó4) a)¡>Ö©Ù§ Iòù ¡>Öé© F /(½(k.mS):>Ö>³§I½·>.^© 3k.m/e§¯KÒ´µXÛÏL(·>.^e) :>Ö>³U\§ Ñ? ¿>Ö©ÙÚ?¿>.^>³© ùÒ´`§^½)¯K ∇2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V ·>.^ )G(r; r 0 )U\Ñ ∇2u(r) = − 1 ε0 ρ(r), r ∈ V u ¯ ¯ Σ = f(Σ) )u(r)§=ru(r)^ρ(r), f(Σ) ±9G(r; r 0 )L«Ñ5© d§·òG(r; r 0 )Úu(r)÷v§©O¦±u(r)ÚG(r; r 0 )§~§23mV S È©§= ZZZ V £ u(r)∇ 2G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇ 2 u(r) ¤ dr = − 1 ε0 ZZZ V £ u(r)δ(r − r 0 ) − G(r; r 0 )ρ(r) ¤ dr = − 1 ε0 " u(r 0 ) − ZZZ V G(r; r 0 )ρ(r)dr # .
§20.1 Green函数的概念 第3页 根据 Green公式,可以将上式左端的体积分化为面积分, u(r)VG(r;r)-G(;r)Vu(r)·d∑ 经过移项、整理,就有 G(r; rp(r)dr Eo//[u(r)VG(r; r)-G(r;r)Vu(r)].d> 在上面的面积分中, ★第一项u(r)在边界面∑上的数值由边界条件给出,是已知的 G(r;r)可由定解问题求出,故而它的梯度ⅴG(r;r)及其在边界面上的数值当然也可 ★第二项中,Vu(r)在边界面上的数值未知 所以,为了要能够把u(r)用p(r),f(∑)以及G(r;r勹表示出来,必须对G(r;T)加上齐次边界 条件 于是,最后就得到 G(r; r)p(r)dr-Eo/f(2)VG(r;r)ls.dE 或者把γ和γ’对换一下, u(r)=//G(r; r)P(rdr'-Eo//f(2)vG(;r)y,d2 G(r;rp(r)dr'-Eo/f(2)aG(r d∑, 其中的V′和/On′表示对自变量r′微商,V和∑还是原来的空间区域和它的边界面,只不过是 把它们的坐标变量改成了r′ ★G(r;T)在r=r’点不连续,根本不能应用Gren公式;上面得到的结果是否正确? ★为了弥补这一缺陷,可以将G(r;r)所满足的方程修改为 V-Gn(r:r)=--5n(r-r). 右端的电荷密度函数6n(r-r)是足够好的连续函数,在r附近一定尺度内明显不为0 而总电量为1个单位.当n→∞时6n(r-r)→6(-r 这样就可以应用 Green公式 重复上面的做法,然后再令n→∞
§20.1 Green¼êVg 1 3 âGreenúª§±òþªàNÈ©z¡È©§ ZZ Σ £ u(r)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇u(r) ¤ · dΣ. ²L£!n§Òk u(r 0 ) = ZZZ V G(r; r 0 )ρ(r)dr −ε0 ZZ Σ £ u(r)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇u(r) ¤ · dΣ. 3þ¡¡È©¥§ F 1u(r)3>.¡Σþêd>.^ѧ´®¶ G(r; r 0 )d½)¯K¦Ñ§ §FÝ∇G(r; r 0 )9Ù3>.¡þê, ¦¶ F 1¥§∇u(r)3>.¡þê§ ¤±§ U ru(r)^ρ(r), f(Σ) ±9G(r; r 0 )L«Ñ5§7LéG(r; r 0 )\þàg>. ^ G(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ = 0. u´§Ò u(r 0 ) = ZZZ V G(r; r 0 )ρ(r)dr − ε0 ZZ Σ f(Σ)∇G(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ · dΣ, ½örrÚr 0ée§ u(r) = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇ 0G(r 0 ; r) ¯ ¯ Σ0 · dΣ0 = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 ) ∂G(r 0 ; r) ∂n0 ¯ ¯ ¯ ¯ Σ0 dΣ 0 , Ù¥∇0Ú∂/∂n0L«égCþr 0 û§V 0ÚΣ 0´5m«Ú§>.¡§ØL´ r§ICþU¤ r 0© ? Ø F G(r; r 0 )3r = r 0:ØëY§ ØUA^Greenúª¶þ¡(J´Ä(º F Öù"§±òG(r; r 0 )¤÷v§?U ∇ 2Gn(r; r 0 ) = − 1 ε0 δn(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V. mà>Öݼêδn(r − r 0 )´v ÐëY¼ê§3r 0NC½ºÝS²wØ0§ o>þ1 ü ©n → ∞δn(r − r 0 ) → δ(r − r 0 )© • ùÒ±A^Greenúª© • Eþ¡{§,2-n → ∞©
§20.1 Green函数的概念 第4页 ★引入δ函数的好处恰恰就在于略去这种极限过程,恰恰就在于可以把δ函数当成连续函数 来处理 ★因此,上面得到的结果是严格的,是正确的 ★另外一种严格的做法是把点电荷所在的γ点的附近挖去一个小体积,在这个新的空间 区域中应用Gren公式(必须注意,现在的边界面除了原来的∑之外,还有在r点处的界 面),然后再令这个小体积趋于0 以上通过静电场的实例引入了 Poisson方程在第一类边界条件下(简称 Poisson方程 的第一边值问题)的 Green函数 简言之,所谓Crm画数就是单位点电荷在齐次边界条件下的电势 对于其他类型的边界条件,原则上也可以类似地讨论 从数学上说,不含时间(稳定问题)的偏微分方程( Laplace方程, Poisson方程, Helmholtz 方程…)在一定边界条件下的 Green函数就可以定义为一个特殊的定解问题的解 ·方程和原来定解问题的方程一样,只是非齐次项改为。函数(点源); 同种类型的齐次边界条件 但是,在某些特殊情形下,这样定义的Gren函数可能无解 例如对于上面的 Poisson方程定解问题,若边界条件改为 则按照上面的讨论,Gren函数G(r;T)在边界面上必须满足齐次的第二类边界条件 G(r; r) 在 Green公式中令(r)=1,(r)=G(r;T),应该有 VG(r;)dr=/VG(r;r)dE= OG(T;T)d∑, 将方程积分,就得到 ⅴ2G(r;r)d 1 这样, Green函数G(r;r)在边界面上的面积分必须满足(Gaus定理) ≠0 显然和边界条件(#)矛盾,这说明,在齐次的第二类边界条件(#)下,方程一定无解,换句话 说,这样的 Green函数一定不存在.在这种情形下,需要引进广义的Gren函数
§20.1 Green¼êVg 1 4 F Ú\δ¼êÐ?TTÒ3uÑù«4L§§TTÒ3u±rδ ¼ê¤ëY¼ê 5?n© F Ïd§þ¡(J´î§´(© F , «î{´r:>Ö¤3r 0:NCNȧ3ù#m «¥A^Greenúª(7L5¿§y3>.¡Ø 5Σ §k3r 0:?. ¡)§,2-ùNȪu0© ±þÏL·>|¢~Ú\ Poisson§31a>.^e({¡Poisson § 1>¯K)Green¼ê© {󧤢Green¼êÒ´ü :>Ö3àg>.^e>³© éuÙ¦a.>.^§Kþ±aq/?Ø© lêÆþ`§Ø¹m(½¯K) ©§(Laplace§, Poisson §, Helmholtz §· · · · · ·) 3½>.^eGreen¼êÒ±½ÂAϽ)¯K)µ • §Ú5½)¯K§§´àgUδ¼ê(: )¶ • Ó«a.àg>.^© ´§3, AÏ/e§ù½ÂGreen¼êUÃ)© ~Xéuþ¡Poisson§½)¯K§e>.^U ∂u(r) ∂n ¯ ¯ ¯ Σ = f(Σ), KUìþ¡?اGreen¼êG(r; r 0 )3>.¡þ7L÷vàg1a>.^ ∂G(r; r 0 ) ∂n ¯ ¯ ¯ Σ = 0. (#) 3Greenúª¥-u(r) = 1, v(r) = G(r; r 0 )§ATk ZZZ V ∇ 2G(r; r 0 )dr = ZZ Σ ∇G(r; r 0 ) · dΣ = ZZ Σ ∂G(r; r 0 ) ∂n dΣ, ò§È©§Ò ZZZ V ∇ 2G(r; r 0 )dr = − 1 ε0 . ù§Green¼êG(r; r 0 )3>.¡þ¡È©7L÷v(Gauss½n) ZZ Σ ∂G(r; r 0 ) ∂n dΣ = − 1 ε0 6= 0. w,Ú>.^(#)gñ©ù`²§3àg1a>.^(#)e§§½Ã)§é{ `§ùGreen¼ê½Ø3©3ù«/e§IÚ?2ÂGreen¼ê©