第九章 Laplace变换 说明 ★本章计划讲授学时:6 ★第14页为教学参考资料,备用 ★§9.5不讲授
Laplace ✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 6 F ☛ 14 ☞✌✍✟✎✏✑ ✒ ✓✔✕ F §9.5 ✖✝✞
第九章 aplace变换 Laplace变换(简称拉氏变换)是常用的一种积分变换.在数学、物理及工程科学中 有广泛的应用 ·本章介绍 Laplace变换的定义及其基本性质,以及它的简单应用 1 Laplace变换 Laplace变换是一种积分变换,它把f(t)变换为F(p), F(p)=/epf(t)dt 这里的t是实数,p是复数,p=5+i,F(p)称为f(t)的 Laplace换式,简称拉氏换式,e-P 是 Laplace变换的核 通常把 Laplace变换简写为 F(p)={f(t)} 或F(p)=f(t; f(t)=2-F(p)) E f(t)=F(p) f(t)和F(p)有时也分别称为 Laplace变换的原函数和象函数 需要说明,在本章中约定:f(t)应该理解为f(t)n(t),其中 7(t) t>0 0,t< 或者说,当t<0时应该理解为∫(t)=0 例9.1函数f(t)=1的 Laplace换式为 Rep>0 这里的限制条件Rep>0是为了保证积分收敛,或者说是 Laplace变换存在的条件 例9.2函数f()=e的 Laplace换式为 这里的限制条件Rep>Rea同样是为了保证积分收敛,即 Laplace变换存在
✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 1 ✝ ✞✟✠ Laplace ✡ ☛ • Laplace ☞✌ (✍✎✏ ✑☞✌) ✒✓✔✕✖✗✘✙☞✌✚✛✜ ✢✣✤✥✦✧★✩ ✢✪ ✫ ✬✭✕✮✔ ✚ • ✯✰✱✲ Laplace ☞✌✕✳✴✦✵✶✯✷✸✹✺✦✻✕ ✍✼✮✔✚ §9.1 Laplace ✽ ✾ Laplace ✿❀❁❂❃❄❅✿❀✹❆❇ f(t) ✿❀❈ F(p) ✹ F(p) = Z ∞ 0 e −ptf(t) dt. ❉❊❋ t ●❍■✹ p ●❏■✹ p = s + iσ ✚ F(p) ❑▲ f(t) ❋ Laplace ▼◆✹❖❑P ◗▼◆✚ e −pt ● Laplace ❘▼❋❙✚ ❚❯❱ Laplace ❘▼❖❲▲ F(p) = ❳ {f(t)} ❨ F(p) : f(t); f(t) = ❳ −1 {F(p)} ❨ f(t) ; F(p). f(t) ❩ F(p) ❬❭❪❫❴❑▲ Laplace ❘▼❋❵❛■❩❜❛ ■✚ ❝❞❡ ❢✹ ✛ ✯✰ ✪❣✳❤ f(t) ✮✐✥❥❦ f(t)η(t) ✹ ✵ ✪ η(t) = ( 1, t > 0, 0, t < 0. ❧♠❡ ✹♥ t < 0 ♦✮✐✥❥❦ f(t) = 0 ✚ ♣ 9.1 ❛ ■ f(t) = 1 ❋ Laplace ▼◆▲ 1 ; Z ∞ 0 e −pt dt = − 1 p e −pt ∞ 0 = 1 p , Re p > 0. ❉❊❋qrst Re p > 0 ●▲✉✈✇①❫②③✹❨④⑤● Laplace ❘▼⑥⑦❋st✚ ♣ 9.2 ❛ ■ f(t) = eαt ❋ Laplace ▼◆▲ e αt ; Z ∞ 0 e −pt · e αt dt = − 1 p e −(p−α)t ∞ 0 = 1 p − α , Re p > Re α. ❉❊❋qrst Re p > Re α ⑧⑨●▲✉✈✇①❫②③✹⑩ Laplace ❘▼⑥⑦✚
9.1 Laplace变换 从例1和例2可以看出,由于 Laplace变换的核是e-n,所以对于相当广泛的函数f(t),其 拉氏换式都存在;甚至当t→∞,f(t)→∞时,f(t)的拉氏换式也可能存在 Laplace变换存在的条件也就是积分/erf(t)dt收敛的条件,在绝大多数实际间题中,f(t) 都能满足 1.f(t)在区间0≤t<∞中除了第一类间断点外都是连续的,而且有连续导数,在任何有限 区间中这种间断点的数目是有限的; 2.f(t)有有限的增长指数,即存在正数M>0及s′≥0,使对于任何t值(实际上,只要对于 足够大的t值) If(t)< Me' 这是 Laplace变换存在的充分条件.一般间题中遇到的函数都能满足这个要求 如果s存在的话,它一定并不唯一,因为比s大的任何正数也符合要求s的下界称为收 敛横标,记为s0
§9.1 Laplace ✄ ☎ ✆ 2 ✝ ❶❷ 1 ❩ ❷ 2 ❸❹❺❻✹❼❽ Laplace ❘▼❋❙● e −pt ✹❾❹❿❽➀➁➂➃❋❛■ f(t) ✹➄ P ◗▼◆➅⑥⑦➆➇➈➁ t → ∞, f(t) → ∞ ❭✹ f(t) ❋ P ◗▼◆❪❸➉⑥⑦✚ Laplace ✿❀➊➋➌➍➎➏➐❁❄❅ Z ∞ 0 e −ptf(t) dt ➑➒➌➍➎✚⑦➓➔→■❍➣↔↕ ➙✹f(t) ➅➉➛➜ 1. f(t) ✛ ➝➞ 0 ≤ t < ∞ ✪➟ ➠➡✖ ➢ ➞➤➥➦➧✒➨➩✕✹➫➭✫ ➨➩➯✜ ✹ ✛➲➳✫➵ ➝➞✪➸✗ ➞➤➥✕ ✜ ➺ ✒ ✫➵✕➆ 2. f(t) ✫✫➵✕➻➼➽✜ ✹➾➚✛➪✜ M > 0 ✦ s 0 ≥ 0 ✹➶➹➘➲➳ t ➴ (➷➬➮✹➱❞➹➘ ✃❐❒✕ t ➴) ✹ |f(t)| < Me s 0 t . ❉ ● Laplace ✿❀➊➋➌❮❅➍➎✚❰Ï↔↕ ➙ÐÑ❋❛■➅➉➛➜❉ÒÓÔ✚ ÕÖ s 0 ⑥⑦❋×✹Ø❰ÙÚÛÜ❰✹Ý▲ Þ s 0 ➔ ❋ßàá■❪âãÓÔ✚ s 0 ❋äå❑▲ ➑ ➒æç ✹è▲ s0 ✚
9.2 Laplace变换的基本性质 性质1 Laplace变换是一个线性变换,即若 f1(t)=F1(p),f2(t)=F2(P a1f1(t)+a2/2(1)=a1F1(p)+a2F2(D) 这个性质很容易从 Laplace变换的定义得到,因为它只不过是积分运算的线性性质的反 映,根据这个性质,立即得到 cos wt 11 性质2 Laplace换式的解析性 如果函数f(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,则 当s-50≥6>0时, 积分/Me-“业收敛,故/e-rft)dt在Rep≥+6中一致收敛,因而在Rep>c0的半平 面内代表一个解析函数,即F(p)在半平面Rep>so内解析 这个性质可以用来确定收敛横标s,这在求 Laplace变换的反演时是非常重要的 性质3若f(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,则 F(p)→0,当R 证因为 FsC"osa…- 故当Rep=s→+∞时,F(p)→0.口
✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 3 ✝ §9.2 Laplace éêëìíîï ðñ 1 Laplace ✿❀❁❂òóð ✿❀ ✹⑩ô f1(t) ; F1(p), f2(t) ; F2(p), õ α1f1(t) + α2f2(t) ; α1F1(p) + α2F2(p). ➸ö✷✸÷ø ùú Laplace ☞✌✕✳✴ûü✹ý❦✻ ➱þÿ✒✘✙✁✕✂✷✷✸✕✄ ☎ ✚✆✝➸ö✷✸✹✞ ➾ûü sin ωt = e iωt − e −iωt 2i ; 1 2i 1 p − iω − 1 p + iω = ω p 2 + ω2 ; cos ωt = e iωt − e −iωt 2 ; 1 2 1 p − iω + 1 p + iω = p p 2 + ω2 . ðñ 2 Laplace ❀✟➌✠✡ð ✚ ÕÖ❛■ f(t) ➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ õ e −ptf(t) < Me −(s−s0)t , s = Re p. ➁ s − s0 ≥ δ > 0 ❭✹ e −ptf(t) < Me −δt . ①❫ Z ∞ 0 Me −δt dt ②③✹☞ Z ∞ 0 e −ptf(t) dt ⑦ Re p ≥ s0 + δ ➙❰✌②③✹Ý✍⑦ Re p > s0 ❋✎✏ ✑ ✒✓✔❰Ò✕✖❛ ■✹⑩ F(p) ⑦ ✎✏✑ Re p > s0 ✒✕✖✚ ➸ö✷✸✗ ✺✔✘✙✳✚✛✜✢ s0 ✹ ➸✛✣ Laplace ☞✌✕✄✤♦✒ ✥✓✦ ❞ ✕✚ ðñ 3 ô f(t) ➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ õ F(p) → 0, ➁ Re p = s → +∞. ✧ Ý▲ |F(p)| ≤ Z ∞ 0 e −ptf(t) dt ≤ M Z ∞ 0 e (s−s0)t dt = M s − s0 , ☞➁ Re p = s → +∞ ❭✹ F(p) → 0 ✚
59.2 Laplace变换的基本性质 实际上,由 Rieman- Lebesque定理①还可证明,当Rep=s>s时, 性质4原函数的导数的 Laplace变换.设f(t)及f'(t)都满足 Laplace变换存在的充分条 件,f(t)=F(P),则因为 (p)-f(0), 所以 f(t)=pF(p)-f(0) 因此,对原函数∫(t)的微商运算就转化为对象函数F{p)的乘法运算,而且还自动包括 了∫()的初值.正因为这个特点,所以 Laplace变换方法是求解微分方程的一种重要方 样,只要f(t),f(t),f"(t),…,fm(t)都满足 Laplace变换存在的充分条件,f(t)=F(p) f"(t)=p2F(p)-pf(0)-f(0), f(3)(t)=p3F(p)-p2f(0)-pf(0)-f”(0) 图9.1 ① Riemann- Lebesque定理的内容是:如果函数f(t)在区间a≤t≤b上分段连续,则 f(t)sin wt dt=0, f(t)cost dt=0
§9.2 Laplace ✄☎★✩✪✫✬ ✆ 4 ✝ ❍➣✭✹❼ Riemann–Lebesque Ù✮ ✯ ✰❸✇ ✱✹➁ Re p = s > s0 ❭✹ lim Im p→±∞ F(p) = 0. ðñ 4 ✲✳✴➌✵✴➌ Laplace ✿❀ ✚✶ f(t) ✷ f 0 (t) ➅➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ s t ✹ f(t) ; F(p) ✹ õ Ý▲ Z ∞ 0 f 0 (t) e−pt dt = f(t) e−pt ∞ 0 + p Z ∞ 0 f(t) e−pt dt = pF(p) − f(0), ❾❹ f 0 (t) ; pF(p) − f(0). ý✸ ✹➹✹✺✜ f(t) ✕✻✼✁✽✾✿❦➹❀✺✜ F(p) ✕❁❂✁✹➫➭❃ ❄❅ ❆❇ ➠ f(t) ✕❈➴✚ ➪ ý❦➸ö❉➥ ✹ ❊ ✺ Laplace ☞✌❋❂✒ ✣❥ ✻✙❋ ★ ✕✖✗✦ ❞ ❋ ❂✚ ⑧⑨✹●Ó f(t), f0 (t), f00(t), · · · , f(n) (t) ➅➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ f(t) ; F(p) ✹ õ f 00(t) ; p 2F(p) − pf(0) − f 0 (0), f (3)(t) ; p 3F(p) − p 2 f(0) − pf0 (0) − f 00(0), . . . f (n) (t) ; p nF(p) − p n−1 f(0) − p n−2 f 0 (0) − · · · − pf(n−2)(0) − f (n−1)(0). ❍ 9.1 ✯ Riemann–Lebesque ■❏❑▲▼◆❖P◗❘❙ f(t) ❚❯❱ a ≤ t ≤ b ❲❳❨❩❬❭❪ lim ω→∞ Z b a f(t) sinωt dt = 0, lim ω→∞ Z b a f(t) cos ωt dt = 0