第一部分复变函数
第一章复数和复变函数 ★本章计划讲授学时:2 ★§1.7为教学叁考资料,不讲授
F ✂✁✂✄✆☎✞✝✂✟✡✠☞☛☞✌ 2 F §1.7 ✍✞✎ ✠✞✏✆✑✆✒✔✓✡✕✗✖✘✝☞✟
§1.1复数及其运算规则 第一章复数和复变函数 1.1复数及其运算规则 复数定义设有一对有序实数(a,b),遵从下列运算规则 加法(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2) 乘法(a,b)c,d)=(ac-bd,ad+be), 则称这一对有序实数(a,b)定义了一个复数a,记为 a=(a,b)=a(1,0)+b(0,1) 称为a的实部,b称为a的虚部 复数相等:两复数的实部、虚部分别相等 复数不能比较大小! ★特殊的复数:实数1 (1,0)(1,0)=(1,0),(1,0)(a,b)=(a,b) 可见(1,0)具有和实数1同样的运算效果 (1,0)=1 ★特殊的复数:虚单位i (0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 这样就定义了虚单位i=(0,1) 所以,复数a又可以记为 a=a+ib. ★特殊的复数:0 (a,b)+(0,0)=(a,b),(a,b)(0,0)=(0, 可见(0,0)具有和实数0同样的运算效果, (0,0)=0. ★复数共轭复数a*≡a-ib与a=a+ib互为共轭
§1.1 ✁✂✄☎✆✝✞ ✟ 2 ✠ ✡☛☞ ✌✍✎✌✏✑✍ §1.1 ✒✓✔✕✖✗✘✙ ✚✛✜✢ ✣✤✥✦✤✧★✩ (a, b) ✪✫✬✭✮✯✰✱✲✳ ✴✵ (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2), ✶✵ (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc), ✲✷✸✥✦✤✧★✩ (a, b) ✹✺✻✥✼✽✩ α ✪✾✿ α = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), a ✷✿ α ❀ ★❁✪ b ✷✿ α ❀❂❁ ✪ a = Re α, b = Im α. F ✚✛❃❄✳ ❅ ✽✩❀ ★❁❆❂ ❁❇❈❉❊❋ ✽✩●❍ ■❏❑▲ ▼ F ◆❖P✚✛✳◗✛ 1 (1, 0)(1, 0) = (1, 0), (1, 0)(a, b) = (a, b), ❘❙ (1, 0) ❚ ✤❯★✩ 1 ❱❲❀✯✰❳❨✪ (1, 0) = 1. F ◆❖P✚✛✳❩❬❭ i (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1, ✸❲❪✹✺✻❂❫❴ i = (0, 1) ✪ i 2 = −1. ❵❛✪ ✽✩ α ❜ ❘❛ ✾✿ α = a + i b. F ◆❖P✚✛✳ 0 (a, b) + (0, 0) = (a, b), (a, b)(0, 0) = (0, 0), ❘❙ (0, 0) ❚ ✤❯★✩ 0 ❱❲❀✯✰❳❨✪ (0, 0) = 0. F ✚✛❝❞ ✽✩ α ∗ ≡ a − i b ❡ α = a + i b ❢✿❣❤❋ (α ∗ ) ∗ = α
第一章复数和复变函数 第3页 共轭复数的乘积为实数 (a+ib(a-ib) ★复数减法复数加法的逆运算 a +ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d), ★复数除法复数乘法的逆运算 a+ib (a+ib)(c-id) ac+ bd. bc c+id (c+id)(c-id) c2+d2
✐❥❦ ✁❧♠♥✁ ✟ 3 ✠ ❣❤✽✩❀ ✶♦✿ ★✩❋ (a + i b)(a − i b) = a 2 + b 2 . F ✚✛♣q ✽✩✴✵❀r✯✰✳ (a + i b) − (c + i d) = (a − c) + i (b − d), F ✚✛sq ✽✩✶✵❀r✯✰✳ a + i b c + i d = (a + i b)(c − i d) (c + i d)(c − i d) = ac + bd c 2 + d 2 + i bc − ad c 2 + d 2
1.2复数的几何表示 第4页 31.2复数的几何表示 一个复数可以用复平面上的一个点表示(见图1.1) 图1.1复数a和a 复数a=a+ib还可以表示成复平面上的一个矢量(见图1.2) 图1.2矢量OP和O'P代表同一个复数 这里的矢量是自由矢量:将一个矢量平移(例如将矢量的一个端点移到原点仍代表同一个 复数 复数加法的几何意义:横坐标、纵坐标分别相加 满足平行四边形法则(或称为三角形法则,见图1.3) 图1.3复数加法的平行四边形法则和三角形法则 平行四边形法则(或三角形法则)也可以应用于复数相减a-B≡a+(-B)(见图1.4) 1.将代表B的矢量反向(即表示一B),然后作加法; 2.由B的终点指向a的终点作一矢量,即代表a-B 图1.4复数减法的平行四边形法则和三角形法则 复数的极坐标表示: r( r,称为复数a的模和辐角 arg a 显然 复数0的模为0,辐角不定
§1.2 ✁t✉✈✇① ✟ 4 ✠ §1.2 ✒✓②③④⑤⑥ ✥✼✽✩❘❛⑦✽⑧⑨⑩❀ ✥✼❶❷❸ (❙❹ 1.1) ❋ ❺ 1.1 ❻❼ α ❽ α ∗ ✽✩ α = a + i b ❾ ❘❛❷❸❿✽⑧⑨⑩❀ ✥✼➀➁ (❙❹ 1.2) ❋ ❺ 1.2 ➂➃ OP ❽ O0P 0 ➄➅➆➇➈❻❼ ✸➉❀➀➁➊ ➋➌➍➎ ✳➏✥✼➀➁⑧➐ (➑➒➏➀➁❀ ✥✼➓❶➐➔→❶) ➣↔❷ ❱ ✥✼ ✽✩❋ ✚✛↕qP➙➛➜✢ ✳ ➝➞➟❆➠➞➟❇❈❉✴❋ ➡➢⑧➤➥➦➧✵✲ (➨✷✿➩➫➧✵✲✪❙❹ 1.3) ❋ ❺ 1.3 ❻❼➭➯➲➳➵➸➺➻➯➼❽➽➾➻➯➼ ⑧➤➥➦➧✵✲ (➨➩➫➧✵✲) ➚ ❘❛➪⑦➶✽✩❉➹ α − β ≡ α + (−β)( ❙❹ 1.4) ✳ 1. ➏↔❷ β ❀ ➀➁➘ ➴ (➷ ❷❸ −β) ✪➬➮➱✴✵✃ 2. ❐ β ❀❒❶❮ ➴ α ❀❒❶ ➱ ✥➀➁✪➷↔❷ α − β ❋ ❺ 1.4 ❻❼❰➯➲➳➵➸➺➻➯➼❽➽➾➻➯➼ ✚✛PÏÐÑÒÓ✳ α = r(cos θ + i sin θ). r, θ ✷✿✽✩ α ❀Ô❯Õ➫✪ r = |α|, θ = arg α. Ö ➬✪ a = r cos θ, b = r sin θ. ✽✩ 0 ❀Ô✿ 0 ✪ Õ ➫ ● ✹ ❋