第二十一章变分法初步 说明 ★本章计划讲授学时:4
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§21.1泛函的概念 第2页 §211泛函的概念 ★泛函,简单地说,就是以整个函数为自变量的函数.这个概念,可以看成是函数概念的 推广 ★所谓函数,是指给定自变量x(定义在某区间内的任一数值,就有一个y与之对应.y称 为x的函数,记为y=f(x) ★设在x,y平面上有一簇曲线y(x),其长度 1 L= ds=+. 显然,y(x)不同,L也不同,即L的数值依赖于整个函数y(x)而改变.L和函数y(x)之间 的这种依赖关系,称为泛函关系. 类似的例子还可以举出许多例如,闭合曲线围成的面积,平面曲线绕固定轴 而生成的旋转体体积或表面积,等等它们也都定了各自的泛函关系 设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y(x),有另一个数y]与之对应,则称y为y(x)的 泛函. 这里的函数集合,即泛函的定义域,通常包含要求y(x)满足一定的边界条件,并且具有 连续的二阶导数.这样的y(x)称为可取函数 泛函不同于复合函数,例如g=g(f(x)) 对于后者,给定一个x值,仍然是有一个g值与之对应; 对于前者,则必须给出某一区间上的函数y(x),才能得到一个泛函值 (定义在同一区间上的)函数不同,泛函值当然不同 为了强调泛函值y]与函数y(x)之间的依赖关系,常常又把函数y(x)称为变量函 数. 泛函的形式可以是多种多样的,但是,在本书中我们只限于用积分 Jy]=(,y,)dx 定义的泛函,其中的F是它的宗量的已知函数,具有连续的二阶偏导数. 如果变量函数是二元函数u(x,y),则泛函为 ]=[[(,, u,, uy) drdy, 其中uxOu/x,uy=u/y. 对于更多个自变量的多元函数,也可以有类似的定义
§21.1 泛 函 的 概 念 第 2 页 §21.1 泛 函 的 概 念 F 泛函，简单地说，就是以整个函数为自变量的函数．这个概念，可以看成是函数概念的 推广． F 所谓函数，是指给定自变量x(定义在某区间内)的任一数值，就有一个y与之对应．y称 为x的函数，记为y = f(x)． F 设在x, y平面上有一簇曲线y(x)，其长度 L = Z C ds = Z x1 x0 q 1 + y 02dx. 显然，y(x)不同，L也不同，即L的数值依赖于整个函数y(x)而改变．L和函数y(x)之间 的这种依赖关系，称为泛函关系． 类似的例子还可以举出许多．例如，闭合曲线围成的面积，平面曲线绕固定轴 而生成的旋转体体积或表面积，等等．它们也都定了各自的泛函关系． F 设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y(x)，有另一个数J[y]与之对应，则称J[y]为y(x)的 泛函． 这里的函数集合，即泛函的定义域，通常包含要求y(x) 满足一定的边界条件，并且具有 连续的二阶导数．这样的y(x)称为可取函数． 泛函不同于复合函数，例如g = g(f(x))． 对于后者，给定一个x值，仍然是有一个g值与之对应； 对于前者，则必须给出某一区间上的函数y(x)，才能得到一个泛函值J[y]． (定义在同一区间上的)函数不同，泛函值当然不同． 为了强调泛函值J[y]与函数y(x)之间的依赖关系，常常又把函数y(x)称为变量函 数． 泛函的形式可以是多种多样的，但是，在本书中我们只限于用积分 J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y 0 ) dx 定义的泛函，其中的F是它的宗量的已知函数，具有连续的二阶偏导数． 如果变量函数是二元函数u(x, y)，则泛函为 J[u] = ZZ S F (x, y, u, ux, uy) dxdy, 其中ux ≡ ∂u/∂x, uy ≡ ∂u/∂y． 对于更多个自变量的多元函数，也可以有类似的定义．
§21.1泛函的概念 第3页 例1如图211所示,在重力作用下,一个质点从(xo,y)点沿平面曲线y(x)无摩擦地自由 下滑到(x1,y)点,则所需要的时间 (x0,vo)√2g(y0-y) 2g(y0-y) 就是叭(x)的泛函.这里,要求变量函数y(x)一定通过端点(x0,y0)和(x1,y) (此问题最早 由 Galileo Galilei提出) 例2弦的横振动问题.设在弦上隔离出足够短的一段弦,则该段弦的 动能=△x/a)2 势能=T△x 其中α(x,t)是弦的横向位移,p是弦的线密度,T是张力.这样,弦的 Hamilton作用量 s=/(o )-(ou 也是位移u(x,t)的泛函 at 称为 Lagrange量( Lagrangian),而被积函数 称为 Lagrange量密度
§21.1 泛 函 的 概 念 第 3 页 图 21.1 例1 如图21.1所示，在重力作用下，一个质点从(x0, y0)点沿平面曲线y(x)无摩擦地自由 下滑到(x1, y1)点，则所需要的时间 T = Z (x1,y1) (x0,y0) ds p 2g(y0 − y) = Z x1 x0 p 1 + y 02 p 2g(y0 − y) dx 就是y(x)的泛函．这里，要求变量函数y(x)一定通过端点(x0, y0)和(x1, y1)． (此问题最早 由Galileo Galilei提出) 例2 弦的横振动问题．设在弦上隔离出足够短的一段弦，则该段弦的 动能 = 1 2 ρ∆x µ ∂u ∂t ¶2 , 势能 = 1 2 T∆x µ ∂u ∂x¶2 , 其中u(x, t)是弦的横向位移，ρ是弦的线密度，T是张力．这样，弦的Hamilton作用量 S = Z t1 t0 dt Z x1 x0 1 2 h ρ µ ∂u ∂t ¶2 − T µ ∂u ∂x¶2 i dx 也是位移u(x, t)的泛函． L = Z x1 x0 1 2 h ρ µ ∂u ∂t ¶2 − T µ ∂u ∂x¶2 i dx 称为Lagrange量(Lagrangian)，而被积函数 1 2 h ρ µ ∂u ∂t ¶2 − T µ ∂u ∂x¶2 i 称为Lagrange量密度．
§21.2泛函的极值 第4页 §21.2泛函的极值 何谓泛函极值? 泛函取极值的必要条件? ★先回忆一下有关函数极值的概念 所谓函数f(x)在xo点取极小值,是指当x在xo点及其附近|r-xo|<E时,恒有 ∫(x)≥∫(xo); 而如果恒有 ∫(x)≤f(xo), 则称函数f(x)在xo点取极大值 函数f(x)在xo点取极值(极小或极大)的必要条件是在该点的导数为0, ★可以用同样的方法定义泛函的极值 当变量函数为y(x)时,泛函取极小值”的含义就是:对于极值函数y(x)及其“附 近”的变量函数y(x)+y(x),恒有 y+]≥Jl 所谓函数y(x)+8y(x)在另一个函数y(x)的“附近”,指的是 2.有时还要求(Sy)'(x)<ε 这里的δy(x)称为函数y(x)的变分 ★可以仿照函数极值必要条件的导出办法,导出泛函取极值的必要条件 不妨不失普遍性地假定,所考虑的变量函数均通过固定的两个端点 y(x1)=b, y(xo)=0,Sy(x1)=0. 考虑泛函的差值 +M=/[F(+60+(0-F数d
§21.2 泛 函 的 极 值 第 4 页 §21.2 泛 函 的 极 值 • 何谓泛函极值？ • 泛函取极值的必要条件？ F 先回忆一下有关函数极值的概念． 所谓函数f(x)在x0点取极小值，是指当x在x0点及其附近|x − x0| < ε时，恒有 f(x) ≥ f(x0); 而如果恒有 f(x) ≤ f(x0), 则称函数f(x)在x0点取极大值． 函数f(x)在x0点取极值(极小或极大)的必要条件是在该点的导数为0， f 0 (x0) = 0. F 可以用同样的方法定义泛函的极值． “当变量函数为y(x)时，泛函J[y]取极小值”的含义就是：对于极值函数y(x)及其“附 近”的变量函数y(x) + δy(x)，恒有 J[y + δy] ≥ J[y]. 所谓函数y(x) + δy(x)在另一个函数y(x)的“附近”，指的是： 1. |δy(x)| < ε； 2. 有时还要求|(δy) 0 (x)| < ε． 这里的δy(x)称为函数y(x)的变分． F 可以仿照函数极值必要条件的导出办法，导出泛函取极值的必要条件． 不妨不失普遍性地假定，所考虑的变量函数均通过固定的两个端点 y(x0) = a, y(x1) = b, 即 δy(x0) = 0, δy(x1) = 0. 考虑泛函的差值 J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 h F ¡ x, y + δy, y 0 + (δy) 0 ¢ − F(x, y, y 0 ) i dx
§21.2泛函的极值 当函数的变分8y(x)足够小时,可以将被积函数在极值函数附近作 Taylor展开,于是,有 +-=厂m{+(1p 1r0 6d+182J+ 其中 F OF 8JlyI 02F 分别是泛函J的一级变分和二级变分.这样就得到:泛函J取极小值的必要条件是泛函的 一级变分为0 6= aF 将上式积分中的第二项分部积分,同时代入边界条件,就有 OF +厂C d OF 8Jly dx d aF L Oy ]8y dz=o 由于Sy的任意性,就可以得到 OF 这个方程称为 Euler-Lagrange方程,它是泛函J列取极小值的必要条件的微分形式.一般说 来,这是一个二阶常微分方程 对于泛函J以]取极大值的情形,也可以类似地讨论,并且也会得到同样形式的必要 条件 在导出 Euler- Lagrange方程时,实际上用到了变分法的一个重要的基本引理: 设(x)是x的连续函数,n(x)具有连续的二阶导数,且n(x) 0,若对于任意n(x) p(a)n(a)dr=0 均成立,则必有(x)≡0 例3设质点在有势力场中沿路径q=q(t)由to,q(to)点运动到t1,q(t1)点,它的 Hamilton作 用量是 S L(t, q, q)dt
§21.2 泛 函 的 极 值 第 5 页 当函数的变分δy(x)足够小时，可以将被积函数在极值函数附近作Taylor展开，于是，有 J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 ½h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i F + 1 2! h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i2 F + · · · ¾ dx = δJ[y] + 1 2!δ 2 J[y] + · · · , 其中 δJ[y] ≡ Z x1 x0 h ∂F ∂y δy + ∂F ∂y0 (δy) 0 i dx, δ 2 J[y] ≡ Z x1 x0 h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i2 Fdx = Z x1 x0 h ∂ 2F ∂y2 (δy) 2 + 2 ∂ 2F ∂y∂y0 δy(δy) 0 + ∂ 2F ∂y02 (δy) 02 i dx 分别是泛函J[y]的一级变分和二级变分．这样就得到：泛函J[y]取极小值的必要条件是泛函的 一级变分为0， δJ[y] ≡ Z x1 x0 h δy ∂F ∂y + (δy) 0 ∂F ∂y0 i dx = 0. 将上式积分中的第二项分部积分，同时代入边界条件，就有 δJ[y] = ∂F ∂y0 δy ¯ ¯ ¯ ¯ x1 x0 + Z x1 x0 h δy ∂F ∂y − δy d dx ∂F ∂y0 i dx = Z x1 x0 h ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 i δy dx = 0. 由于δy的任意性，就可以得到 ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 = 0. 这个方程称为Euler–Lagrange方程，它是泛函J[y]取极小值的必要条件的微分形式．一般说 来，这是一个二阶常微分方程． 对于泛函J[y]取极大值的情形，也可以类似地讨论，并且也会得到同样形式的必要 条件． 在导出Euler–Lagrange方程时，实际上用到了变分法的一个重要的基本引理： 设φ(x)是x的连续函数，η(x)具有连续的二阶导数，且η(x) ¯ ¯ x=x0 = η(x) ¯ ¯ x=x1 = 0，若对于任意η(x)， Z x1 x0 φ(x) η(x) dx = 0 均成立，则必有φ(x) ≡ 0． 例3 设质点在有势力场中沿路径q = q(t)由t0, q(t0)点运动到t1, q(t1)点，它的Hamilton作 用量是 S = Z t1 t0 L(t, q, q˙) dt