az f1+f3 a- f,+f2 f2+f3f2+f3 (9)设F(x,y,)=z-f(x,z-y)=0,则 - F a- F F: 1-xfr-f2 ay F: x1-f2 0-2a f+| f1+-f2 xf,, ax f+x2+x1+x2+|+x1+2 2f1 x1-f2 1+2(+x91+(ar丿f2 (10)由f(x,x+y,x+y+)=0即可得到 f1+f2+f3 f2+f3 02 f1+f12+1+ f1+f2 23 f1+f2 [f(1+21+1x)-2(+3+)+(+)], a- az f1+f2+|1+2 Oxay ax Oy f ax f1+f2 ax [O+12)-1+1(+1)-1(+2)] 2.设y=tan(x+y)确定y为x的隐函数,验证 3y2(3y4+8y2+5 d y 证由 (x+y)(1+y)=(1+y2)1+y) 解出
2 3 1 3 f f f f x z + + = − ∂ ∂ ， 2 3 1 2 f f f f y z + + = − ∂ ∂ 。 （9）设 F x( , y,z) = z f − ( , xz z − y) = 0，则 x z z F x F ∂ = − ∂ 1 1 2 1 zf xf f = − − ， y z z F y F ∂ = − ∂ 2 1 2 1 f xf f = − − − ， 2 2 z z x x x ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 1 11 1 2 1 1 z z 12 z f z z x f z f xf f x x x ⎡∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = + ⎜ ⎟ + + ⎤ ⎢ ⎥ − − ⎣∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎦ 1 2 1 11 12 21 1 2 (1 ) zf z z z z 22 f x z x f x f z x f f xf f x x x x ⎡ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ + + ⎜ ⎟ + + + ⎜ ⎟ + + ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎤ ＝ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ∂ ∂ − − 22 2 11 12 2 1 1 2 2 2 1 1 f x z f x z z x x z f x z f z x x z xf f 。 (10) 由 f (x, x + y, x + y + z) = 0即可得到 3 1 2 3 f f f f x z + + = − ∂ ∂ ， 3 2 3 f f f y z + = − ∂ ∂ ， 2 2 z z x x x ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 11 12 13 21 22 23 3 1 1 1 z z f f f f f f x ⎡ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ = − + + ⎜ ⎟ + + + + ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ f x ⎤ 1 2 31 32 33 3 1 f f z f f f f x + ⎡ ∂ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∂ ⎤ 2 2 3 3 11 12 22 3 1 2 13 23 1 2 33 3 1 f ( f 2 f f ) 2 f ( ) f f ( f f ) ( fff ) f = − ⎡ ⎤ + + − + + + + ⎣ ⎦ ， 2 z z x y x y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 21 22 23 3 1 1 z f f f f x ⎡ ∂ ⎛ ⎞ ⎤ = − + + ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∂ 2 2 31 32 33 3 1 f z f f f f x ⎡ ⎛ ⎞ ∂ ⎤ + + + ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ∂ ⎦ 2 3 3 12 22 2 3 13 2 1 2 33 3 1 2 23 3 1 f ( ) f f f f f f ( f f ) f f ( f 2 f ) f f = − ⎡ ⎤ + − + + − + ⎣ ⎦。 2. 设 y = tan(x + y)确定 y 为 x的隐函数，验证 8 4 2 3 3 2(3 8 5) d d y y y x y + + = − 。 证 由 2 2 y x ' = + sec ( y)(1+ y ') = (1+ y )(1+ y ') 解出 6
再求二阶和三阶导数,有 2 22 2(3y2+8y2+5 3.设φ是可微函数,证明由(cx-a,cy-b)=0所确定的隐函数 z=f(x,y)满足方程 证由p(cx-a,gy-b)=0可得到 ,2=-= ax -ad-bo ad +bp -a-2a+她 所以 a二+b 4.设方程叭x+xy-,y+x-)=0确定隐函数z=f(x,y),证明它满足方程 证由于 + y-x yo az xz -, +aX(x+1) y(xg +yo,) 所以 5.求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数: 0, y d: d 和 dx d d d (2)/x+y 0. 求 autn a 和 y+x=1 求和 v=gu-x,v y), x=u+v V=II-1 求2和
2 1 y ' 1 y = − − ， 再求二阶和三阶导数，有 3 3 2 2 y y '' ' y y = = − − 5 2 y ， 4 6 6 10 y y ''' ' y y ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 4 2 8 2(3y y 8 5) y + + − 。 3. 设φ 是可微函数，证明由φ(cx − az, cy − bz) = 0所确定的隐函数 z = f (x, y) 满足方程 c y z b x z a = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 由φ(cx − az, cy − bz) = 0可得到 1 1 1 2 1 z c c 2 x a b a b φ φ φ φ φ ∂ = − = ∂ − − + φ ， 2 2 1 2 1 z c c y a b a b 2 φ φ φ φ φ φ ∂ = − = ∂ − − + ， 所以 c y z b x z a = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 4. 设方程φ(x + zy −1 , y + zx −1 ) = 0确定隐函数 z = f (x, y) ，证明它满足方程 z xy y z y x z x = − ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 由于 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 ( ) z z x yz x y x x x y y x φ φ φ φ φ φ φ φ ⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ − = − = ∂ + + ， 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) z z y xz xy y y y x φ φ x y φ φ φ φ φ φ ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ − = − = ∂ + + ， 所以 z xy y z y x z x = − ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 5. 求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数： （1） 求 ⎩ ⎨ ⎧ + + = − − = 2 3 4 , 0, 2 2 2 2 2 2 x y z a z x y x y d d ， x z d d ， 2 2 d d x y 和 2 2 d d x z ； （2） 求 ⎩ ⎨ ⎧ + = + = 1, 0, yu xv xu yv x u ∂ ∂ ， y u ∂ ∂ ， 2 2 x u ∂ ∂ 和 x y u ∂ ∂ ∂ 2 ； （3） 求 ⎩ ⎨ ⎧ = − = + ( , ), ( , ), 2 v g u x v y u f ux v y x u ∂ ∂ 和 x v ∂ ∂ ； （4） 求 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = + , , , 2 2 z u v y u v x u v x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； 7