王 王注意:该定理的逆定理不成立 ★连续函数不存在导数举例 王1.函数f(x)连续,若f(x)≠f(x则称点x 为函数f(x)的角点,函数在角点不可导 例如, y=x x2,x≤0 f(x)= .x> 0 王在x=0处不可导,x=0为f(x)的角点 上页
连续函数不存在导数举例 ( ) , . 1. ( ) , ( ) ( ) 0 0 0 为函数 的角点 函数在角点不可导 函数 连续 若 则称点 f x f x f − x f + x x x y 2 y = x 0 例如, y = x , , 0 , 0 ( ) 2 = x x x x f x 在 x = 0处不可导, x = 0为 f (x)的角点. 注意: 该定理的逆定理不成立. ★
2设函数f(x)在点x连续,但 lim -=lim f(x+△x)-f(x0) △x→0△x △x→0 △y 称函数f(x)在点x有无穷导数(不可导) 例如, 3x-1 f(x)=3x-1, 在x=1处不可导 上页
3 y = x − 1 x y 0 1 ( ) .( ) , ( ) ( ) lim lim 2. ( ) , 0 0 0 0 0 0 称函数 在 点 有无穷导数 不可导 设函数 在 点 连 续 但 f x x x f x x f x xy f x x x x = + − = → → 例如 , ( ) 1, 3 f x = x − 在 x = 1处不可导
庄3函数f(x)在连续点的左右导数都不存在 牛(指摆动不定),则x点不可导 例如, ”” f(x)=x,x≠0 0 x=0 l/π h/π 工工工 在x=0处不可导 上页
( ) , . 3. ( ) 指摆动不定 则 0点不可导 函数 在连续点的左右导数都不存在 x f x , 0, 0 , 0 1 sin ( ) = = xx x x f x 例如 , 在x = 0处不可导. 01 －1/π 1/π x y
生4若(x)=2,且在点x的两个单侧导数 符号相反,则称点x为函数f(x)尖点 王(不可导点 y=f(r) y=f(r) 0 上页
( ) . , ( ) 4. ( ) , 0 0 0 不可导点 符号相反 则称点 为函数 的尖点 若 且在点 的两个单侧导数 x f x f x = x x y o x y 0 o x y = f (x) y = f (x)
1 例8讨论函数∫(x)= xsin,x≠0 0. x=0 在x=0处的连续性与可导性 解sim是有界函数, lim rsin1=0 x→0 ∫(0)=imf(x)=0∴f(x)在x=0处连续 x->0 但在x=处有4(0+△x)s0+x=sA 0 △ △v 当Ax→0时,在一1和1之间振荡而极限不存在. f(x)在x=0处不可导 上页
例 8 0 . , 0, 0 , 0 1 sin ( ) 在 处的连续性与可导性 讨论函数 = = = x xx x x f x 解 , 1 sin 是有界函数 x 0 1 lim sin 0 = → x x x f (x)在x = 0处连续. 但在x = 0处有 x x x xy − + + = 0 0 1 (0 )sin x = 1 sin 当 0时, 在 − 1和1之间振荡而极限不存在 . → xy x f (x)在x = 0处不可导. (0) lim ( ) 0 0 = = → f f x x