例5求函数y= log, x(a>0,a≠1)的导数 解 10g,(+h),x y=lm h→0 h log (1+ =lim h→0 x+00gn(+-)_1 lim e log e ap (log x)=log e.(In x)'= 上页
例 5 求函数 y = log x(a 0,a 1)的导数. a 解 h x h x y a a h log ( ) log lim0 + − = → log . 1 (log ) e x a x = a 即 . 1 (ln ) x x = x xh xh a h 1 log (1 ) lim0 + = → hx a h xh x lim log (1 ) 1 0 = + → log . 1 e x = a
王例讨论函数f(x)=x在x=0处的可导性 解f(0+b)-f(0)h yt y h h h lim f(0+h)-f(0) = im 1, h→0+ h h→0+h 0 f(0+h)-∫(0) = limb =-1 h→0 h h→0 即r(000,函数=/(在x=0不可景 上页
例 6 讨论函数 f (x) = x 在x = 0处的可导性. 解 y = x x yo , (0 ) (0) hh h f h f = + − hh h f h f h h → + → + = + − 0 0 lim (0 ) (0) lim = 1 , hh h f h f h h − = + − → − → − 0 0 lim (0 ) (0) lim = − 1 . ( 0 ) ( 0), + − 即 f f 函数y = f (x)在x = 0点不可导
生四、导数的几何意义 f(x)表示曲线y=f(x) y=f(x) 在点M(xn,f(x)处的 T M 切线的斜率,即 工工工 f(xn)=tana,(a为倾角) 切线方程为y-y0=f(xn)(x-x 法线方程为y-y0=- lr-ro) f(x0) 上页
四、导数的几何意义 o x y y = f (x) T x0 M ( ) tan , ( ) , ( , ( )) ( ) ( ) 0 0 0 0 为倾角 切线的斜率 即 在点 处的 表示曲线 = = f x M x f x f x y f x 切线方程为 法线方程为 ( )( ). 0 x0 x x0 y − y = f − ( ). ( ) 1 0 0 0 x x f x y y − − = −
王 例7求等边双曲线y=在点(,2)处的切线的 斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程 解由导数的几何意义,得切线斜率为 k=y 1= xx xx 2 2 所求切线方程为y-2=-4(x-),即4x+y-4=0 2 法线方程为y-2=(x-3,即2x-8y+15=0 42 上页
例7 , . ,2) 2 1 ( 1 斜率 并写出在该点处的切线方程和法线方程 求等边双曲线 在点 处的切线的 x y = 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 2 1 = = x k y 2 1 ) 1 ( = = x x 2 2 1 1 = = − x x = −4. 所求切线方程为 法线方程为 ), 2 1 y − 2 = −4(x − ), 2 1 ( 4 1 y − 2 = x − 即4x + y − 4 = 0. 即2x − 8 y + 15 = 0
生五可导与连续的关系 定理凡可导函数都是连续函数 证设函数f(x)在点x可导, Im △x→>0△x x0) Ay=f(x+a △v a→0(△x→0)Ay=f(x0)△x+a△x im△y=im∫(x)△x+a△x]=0 △x→0 △x→0 函数f(x)在点x连续 上页
五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证 ( ) , 设函数 f x 在点 x0可导 lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) x0 f x y y = f (x0 )x +x lim lim[ ( ) ] 0 0 0 y f x x x x x = + → → = 0 ( ) . 函数 f x 在点 x0连续 → 0 (x → 0)