若lm f(x+△x)-f(x0) △r→+0 △v Iim9(x+△x)-o(x) Ar→+0 △v =f(x)存在, 且∫"(x)=f(x)=a, 则f(x)在点x0可导, 且f(x)=a. 上页
则 f (x)在点x0 可导， ( ) , = f + x0 存在 x f x x f x x + − →+ ( ) ( ) lim 0 0 若 0 x x x x x + − = →+ ( ) ( ) lim 0 0 0 ( ) ( ) , 且 f − x0 = f + x0 = a ( ) . 且 f x0 = a
三、由定义求导数 平步骤:()求增量4y=f(x+△)-fx; (3)求板限y=m、f (2)算比值 △yf(x+△x) △x △x→>0△x 例1求函数f(x)=C(C为常数)的导数 上解f(x)-(x+-f=。a C-C h h→ 即(C)=0. 上页
三、由定义求导数 步骤: (1)求增量 y = f (x + x) − f (x);; ( ) ( ) (2) x f x x f x x y + − = 算比值 (3) lim . 0 x y y x = → 求极限 例1 求函数 f (x) = C(C为常数)的导数. 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h C C h − = →0 lim = 0. 即 (C) = 0
例2设函数f(x)=sinx,求(sinx)及(sinx) 解(sinx)'=lim sin(x+h-sin x h→>0 h= SI = lim cos(x+。) coS h→>0 2 即sinx)=cosx ∴(SInx I cos x 2 上页
例 2 ( ) sin , (sin ) (sin ) . 4 = = x 设函数 f x x 求 x 及 x 解 h x h x x h sin( ) sin (sin ) lim0 + − = → 2 2 sin ) 2 lim cos( 0 h h h x h = + → = cos x . 即 (sin x) = cos x. 4 4 (sin ) cos = = = x x x x . 22 =
例3求函数y=x"(m为正整数)的导数 解(x")=lim (x+h)"-x →0 h 即(xy=2x+…+1=mrx n limn"+ h→0 更一般地(x")=μx"-.(μ∈R) 例如,(x)=x 2 2√x (x-)=(-1)x-2 上页
例3 求函数 y x (n为正整数)的导数. n = 解 h x h x x n n h n + − = → ( ) ( ) lim 0 ] 2! ( 1) lim[ 1 2 1 0 − − − → + + − = + n n n h x h h n n nx −1 = n nx ( ) . −1 = n n 即 x nx 更一般地 ( ) . ( ) 1 x = x R − 例如, ( x) 1 2 1 2 1 − = x . 2 1 x = ( ) 1 − x 1 1 ( 1) − − = − x . 1 2 x = −
例4求函数f(x)=a(a>0,≠1)的导数 x+h 解(a)=mh =a m h→0 =aIn a 即(ay=alna (e)=e 上页
例 4 求函数 f (x) = a (a 0,a 1)的导数. x 解 h a a a x h x h x − = + →0 ( ) lim h a a h h x 1 lim0 − = → a ln a . x =(a ) a ln a. x x 即 = ( ) . x x e = e