1、当已知系统微分方程时，可以通过对微分方程两 边取其傅里叶变换来求取。 线性时不变系统的数学模型可以用一个阶常系数线 性微分方程来描述，即： a,rm(t)+an-rm-(t)）+.+a,r0(t)+ar(t) =bnem()+bm-1em-(0)+.+be0(0）+be(t)） 对上式两边取傅里叶变换（设起始状态为零），由 时域微分性质，可得： [an(jo)”+an-1(jo)”-+.+a,(jo)+a]R(jo) =[b(j@)"+b-(j@)m+.+b(j@)+boJE(j@
11 1、当已知系统微分方程时，可以通过对微分方程两 边取其傅里叶变换来求取。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (1) 1 ( 1) 1 ( ) 0 (1) 1 ( 1) 1 ( ) b e t b e t b e t b e t a r t a r t a r t a r t m m m m n n n n = + + + + + + + + − − − − 对上式两边取傅里叶变换（设起始状态为零），由 时域微分性质，可得： [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 b j b j b j b E j a j a j a j a R j m m m m n n n n = + + + + + + + + − − − − 线性时不变系统的数学模型可以用一个n阶常系数线 性微分方程来描述 ，即:
通过傅里叶变换，把常系数线性微分方程变成关于激 励和响应的傅里叶变换的代数方程，于是可得响应的 傅里叶变换为： R(j@)= jo)+bjo)m-1++b(U@）+bEUo） an(jo)”+an-1（Jjo)m-+.+a,(Jo)+ao =H(j@E(jo) H(jo)= R(jo）_bm(jo)"+bm1jo)"-+.+b,(jo)+b E(jo)an(jo)”+an-1(jo)n-+.+a,(jo)+a
1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a j a j a j a b j b j b j b E j R j H j n n n n m m m m + + + + + + + + = = − − − − 12 通过傅里叶变换，把常系数线性微分方程变成关于激 励和响应的傅里叶变换的代数方程，于是可得响应的 傅里叶变换为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 E j a j a j a j a b j b j b j b R j n n n n m m m m + + + + + + + + = − − − − = H ( j)E( j)
2、当已知系统的冲激响应时，可以对其求傅里叶变 换来求取H(o)。 例：已知0+30+20=x0求HUo) dt 解法一：对微分方程两边取傅里叶变换得 [(Ujo)2+3Uo)+2]Y(o)=X(⊙) H(j@)= X(@) Y(o)(jo)2+3(jo)+2
[( ) 3( ) 2] ( ) ( ) 2 j + j + Y = X 13 2、 当已知系统的冲激响应时，可以对其求傅里叶变 换来求取 H ( j) 。 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 2 y t x t dt dy t dt d y t 例：已知 + + = 求 H ( j) 解法一：对微分方程两边取傅里叶变换得 ( ) 3( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 + + = = Y j j X H j
d0+30+20)6 dt2 dt 解法二：先求h()再求H(jo) 由第二章介绍的求冲激响应的方法，可求出 h(t)=(e-e2)u(t) 再对上式取傅里叶变换，得 H(j@)=FTl(e-e2)u(t)] 1 1 j0+1j0+2(o)2+3(jo)+2
14 解法二：先求h(t)再求 H ( j) 由第二章介绍的求冲激响应的方法，可求出 ( ) ( ) ( ) 2 h t e e u t −t − t = − 再对上式取傅里叶变换，得 ( ) 3( ) 2 1 2 1 1 1 ( ) FT[( ) ( )] 2 2 + + = + − + = = − − − j j j j H j e e u t t t 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 2 y t x t dt dy t dt d y t + + =
15 3、利用输入为e(t)=eo时的零状态响应 r(t)=H(jo)ejo H(jo)=(四 jot 说明无时限的虚指数信号作用于系统时，其零状 态响应仍为同频率的虚指数信号，是激励乘以一个 与时间t无关的复函数H(0),结果是将激励信号在 幅度上放大H(o)倍，相位上附加一个∠H(U0)的 相位移后输出。 所以，系统函数也可定义为： H(j@)=_ 在eo1激励下的响应
15 j t e t e ( ) = j t e r t H j ( ) ( ) = 3、利用输入为 时的零状态响应 j t r t H j e ( ) = ( ) 所以，系统函数也可定义为： 说明无时限的虚指数信号作用于系统时，其零状 态响应仍为同频率的虚指数信号，是激励乘以一个 与时间t 无关的复函数 ，结果是将激励信号在 幅度上放大 倍，相位上附加一个 的 相位移后输出。 H ( j) H( j) H ( j) H e e j t j t () = 在 激励下的响应 H ( j)