由每个投票人对m个候选人排序,排在第一位的得m-1分,排在第二位的得m-2分 根据各候选人所得总分多少确定其优劣 3. Condorcet原则(1785年提出) 寸候选人进行成对比较,若某个候选人能按过半数规则击败其它所有候选人,则称为 Condorcet候选人;若存在 Condorcet候选人,则由其当选 用上述语号表示即若nk> nk vak∈Aa,},则a,当 例12.5群由60个成员组成A={a,b,c},群中成员的态度是 23人认为 a>c>b(即a优于c,c优于b,a也优于b) 9人认为 b>>a 16人认为 c>b>a 2人认为 cxa>b a与b枇比Naxb)=25,N(b>a)=35因此有b>ca a与c相比N(a>c)=23,Nc>a)=37因此有cxca b与c相比N(b>c)=19,Nc>b)=41因此有c>cb 由于候选人c能分别击败a与b,所以c是 Condorcet候选人,由c当选 但是,常常不存在 Condorcet候选人 4.多数票循环(投票悖论) 例12.6若群中60个成员的态度是 23人认为 a>b>c 17人认为 b>c>a 2人认为 b >a>c 8人认为c>b>a 10人认为 由于N(a>b)=33,Nb>a)=27因此有a>cb N(b>c)=42,N(c>a)=18因此有b>cc N(a>c)=25,Nc>a)=35因此有c>a 每个成员的偏好是传递的,但是按过半数原则集结得到的群的排序并不传递出现多数 票循环这种现象称作 Condorcet效应(也叫投票悖论) 5.出现 Condorcet效应的概率 成员数N 方案数m=3.0556.0694075007980820843 0877 1755 2513 3152 4152 14887 I A. Gibbard, Manipul ation of vot ing schemes: a general result, 1973, Econometr ica (41)91-103 12-6
12- 6 由每个投票人对 m 个候选人排序, 排在第一位的得 m-1 分, 排在第二位的得 m-2 分,… 根据各候选人所得总分多少确定其优劣. 3. Condorcet 原则( 1785 年提出) 对候选人进行成对比较, 若某个候选人能按过半数规则击败其它所有候选人, 则称为 Condorcet 候选人; 若存在 Condorcet 候选人,则由其当选. 用上述记号表示,即: 若 n jk ＞n kj ∨ a k ∈A\{ a j }, 则 a j 当选. 例12. 5 群由 60 个成员组成, A={ a, b, c }, 群中成员的态度是: 23 人认为 a c b (即 a 优于 c ,c 优于 b, a 也优于 b) 19 人认为 b c a 16 人认为 c b a 2 人认为 c a b a 与 b 相比 N(a b)=25, N(b a)=35 因此有 b G a a 与 c 相比 N(a c)=23, N(c a)=37 因此有 c G a b 与 c 相比 N(b c)=19, N(c b)=41 因此有 c G b 由于候选人 c 能分别击败 a 与 b, 所以 c 是 Condorcet 候选人,由 c 当选. 但是,常常不存在 Condorcet 候选人. 4. 多数票循环(投票悖论) 例12. 6 若群中 60 个成员的态度是: 23 人认为 a b c 17 人认为 b c a 2 人认为 b a c 8 人认为 c b a 10 人认为 c a b 由于 N(a b)=33, N(b a)=27 因此有 a G b N(b c)=42, N(c a)=18 因此有 b G c N(a c)=25, N(c a)=35 因此有 c G a 每个成员的偏好是传递的, 但是按过半数原则集结得到的群的排序并不传递,出现多数 票循环,这种现象称作 Condorcet 效应(也叫投票悖论) 5. 出现 Condorcet 效应的概率 成员数 N : 3 5 7 11 15 25 ∞ 方案数 m= 3 .0556 .0694 .0750 .0798 .082 .0843 .0877 4 .111 .14 .15 .1755 5 .16 .20 .22 .2513 6 .20 .25 .27 .3152 8 .4152 10 [1] .4887 1 A. Gibbard, Manipulation of voting schemes: a general result, 1973,Econometrica (41)91-103
三、策略性投票(操纵性) 1.小集团控制群 例百人分蛋糕 2.谎报偏好而获益 例12.7群由30个成员组成A={a,b,c},群中成员的态度是 14认为 a>b>c 4人认为 >a>c 4人认为 b>c>a 8人认为 c>b>a 根据 Borda法和 Condorcet原则都应由b当选,但是,若认为a>b>c的14人中有8人撒谎 称他们认为axc>b,则按 Borda法,将由a当选 3.程序(议程)问题例12.6所述问题后参加表决的方案获胜 四、衡量选举方法优劣的标准 ①能否充分利用各成员的偏好信息 ②若存在 Condorcet候选人应能使其当选 ③能防止策略性投票 §123社会选择函数 一、引言 1.仍以例12.5为例群由60个成员组成A={ab,c},群中成员的态度是 23人认为 a>c>b 19人认为 b>c×a 16人认为 c>bsa 2人认为 c>a>b 根据 Condorcet原则 c当选 根据简单多数规则 a当选 根据过半数(二次投票规则b当选 该例中一共只有三个候选人,采用不同选举方法时,这些候选人都有可能当选.那么这 些方法中究竟何者合理?据何判断选举方法的合理性? 2例12.6表明多数票循环不可避免,问题是:出现多数票循环时该谁当选? 研究社会选择问题的理论家提出:应该采用某种与群中成员偏好有关的数量指标来反映群 (即社会对各方案的总体评价这种数量指标称为社会选择函数 2M. A. Satterthwe itz, Strategy proofness and Arrew's conditions,1975,J.Eco Theory(10)187-217. 12-7
12- 7 15 .6087 20 .6811 30 .7914 49 .8405 三、策略性投票(操纵性) 1.小集团控制群 例: 百人分蛋糕 2. 谎报偏好而获益 例 12.7 群由 30 个成员组成, A={ a, b, c }, 群中成员的态度是: 14 认为 a b c 4 人认为 b a c 4 人认为 b c a 8 人认为 c b a 根据 Borda 法和 Condorcet 原则,都应由 b 当选, 但是, 若认为 a b c 的 14 人中有 8 人撒谎, 称他们认为 a c b , 则按 Borda 法, 将由 a 当选. 3. 程序(议程)问题 例 12.6 所述问题: 后参加表决的方案获胜. 四、衡量选举方法优劣的标准 ①能否充分利用各成员的偏好信息 ②若存在 Condorcet 候选人,应能使其当选. ③能防止策略性投票 §12.3 社会选择函数 一、引言 1. 仍以例 12.5 为例:群由 60 个成员组成, A={ a, b, c }, 群中成员的态度是: 23 人认为 a c b 19 人认为 b c a 16 人认为 c b a 2 人认为 c a b 根据 Condorcet 原则 c 当选 根据简单多数规则 a 当选 根据过半数(二次投票)规则 b 当选 该例中一共只有三个候选人, 采用不同选举方法时, 这些候选人都有可能当选. 那么这 些方法中究竟何者合理?据何判断选举方法的合理性? 2 例 12.6 表明多数票循环不可避免, 问题是: 出现多数票循环时该谁当选? 研究社会选择问题的理论家提出：应该采用某种与群中成员偏好有关的数量指标来反映群 (即社会)对各方案的总体评价. 这种数量指标称为社会选择函数. 2 M. A. Satterthweitz, Strategy proofness and Arrew’s conditions , 1975, J. Eco. Theory (10)187-217
二、社会选择函数的几个性质 0.记号 在对xy比较时 0若 y 若 群中各成员的偏好分布D=(D1Dn) 偏好分布的集合 社会选择函数F(D)=f(D1…Dn)VD∈D 即F:{-1,0,1}"→{-1,0,1} 1.明确性( Decisiveness) D≠0→F(D)≠0 2.中性( Neutrality)又称对偶性对侯选人的公平性 f(D1…-Dn)=-f(D12…2Dn) 3.匿名性( Anonymity)又称平等原则各成员的权力相 f(D1…Dn)=f(D(u)3…,D(n) 其中σ是(1,…,n)的新排列 4.单调性( Monotonicity)又称正的响应 若D≥D’则F(D)≥F(D) 致性( Unanimity)又称 Weak pareto性 f(1,1,…,1)=1orf(-1,-12…,-1)= 6.齐次性( Homogeneity 对任意正整数mF(mD)=F(D) 7. Pareto性 D,∈{1,0} for alli and D= I for some k→F(D)=1 D1=0 for all→F(D)=0 社会选择函数 1. Condorcet-函数 f(x)=min n(x>i y) y∈A\{x} f。()值愈大愈优 例12.6群中60个成员的态度是 23人认为 a>b>c 17人认为 b>c>a 2人认为 8人认为 c>bxa 10人认为 c>a>b 12-8
12- 8 二、社会选择函数的几个性质 0. 记号 在对 x,y 比较时 1 若 x i y D i = 0 若 x ～ i y -1 若 y i x 群中各成员的偏好分布 D = ( D 1 ,…,D n ) 偏好分布的集合 Ð = { -1, 0, 1 } n 社会选择函数 F(D) = f( D 1 ,…,D n ) D ∈ Ð 即 F : { -1, 0, 1 } n → { -1, 0, 1 } 1. 明确性 (Decisiveness) D≠0 → F(D) ≠0 2. 中性 (Neutrality)又称对偶性 对侯选人的公平性 f( -D 1 ,…,-D n ) = - f( D 1 ,…,D n ) 3. 匿名性 (Anonymity) 又称平等原则 各成员的权力相同 f( D 1 ,…,D n ) = f( D (1) ,…,D (n) ) 其中σ是 (1, …,n)的新排列 4. 单调性 (Monotonicity)又称正的响应 若 D ≥D’ 则 F ( D )≥F ( D’ ) 5. 一致性 (Unanimity)又称 Weak Pareto 性 f ( 1, 1,…, 1) = 1 or f ( -1, -1,…, -1) = -1 6. 齐次性(Homogeneity) 对任意正整 数 m F ( mD ) = F ( D ) 7. Pareto 性 D i ∈ { 1, 0 } for all I and D = 1 for some k → F ( D ) = 1 D i = 0 for all I → F ( D ) = 0 三、社会选择函数 1. Condorcet-函数 f c (x) = min yA\{x} N( x i y ) f c ( .) 值愈大愈优. 例12. 6 群中 60 个成员的态度是: 23 人认为 a b c 17 人认为 b c a 2 人认为 b a c 8 人认为 c b a 10 人认为 c a b