第三章效用、损失和风险 nd risk) 本章主要参考文献:60,56,86,87,92,129,156,169,183,184 §3-1效用的定义和公理系统 引言 为什么要引入效用 决策问题的特点:自然状态不确定——以概率表示; 后果价值待定 以效用度量 1无形后果,非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量 2即使是数值量(例如货币)表示的后果,其价值仍有待确定,后果的价值因人而异。 例一:同是100元钱,对穷人和百万富翁的价值绝然不同;对同一个人,身无分文时的100 元,与已有10000元再增加100元的作用不同,这是钱的边缘价值问题 上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义 有人认为打赌不如礼品即 *由上面两个例子可知:在进行决策分析时,存在如何描述(表达)后果的实际价值,以便 反映决策的人偏好次序( preference order)的问题 偏好次序是决策人的个性与价值观的反映,与决策人所处的社会、经济地位,文化素养, 心理和生理身体状态有关 *除风险偏好之外,还时间偏好。i,折扣率ⅱ,其他 而效用( Utility)就是偏好的量化,是数实值函数 Daniel bernoulli在1738年指出
3- 1 第三章 效用、损失和风险 (Utility,Loss and Risk) 本章主要参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，184 §3—1 效用的定义和公理系统 一、引言 ·为什么要引入效用 决策问题的特点：自然状态不确定——以概率表示； 后果价值待定： 以效用度量。 1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量； 2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。 例一：同是 100 元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的 100 元，与已有 10000 元再增加 100 元的作用不同，这是钱的边缘价值问题。 例二： 礼品 抽奖 1 0.5 0.5 10元 0 上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义 有人认为打赌不如礼品,即 250元 *由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述 10元 优于 0.5 0.5 0 250元 (表达)后果的实际价值，以便 反映决策的人偏好次序(preference order)的问题 *偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养， 心理和生理(身体)状态有关。 * 除风险偏好之外，还时间偏好。 i, 折扣率 ii,其他 而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数). Daniel Bernoulli 在 1738 年指出：
若一个人面临从给定行动集(风险性展望集中作选择的决策问题,如果他知道与给定行 动有关的将来的自然状态,且这些状态出现的概率已知或可以估计,则他应选择对各种可能 后果的偏好的期望值最高的行动 二、效用的定义 1符号 AB(即APB)读作A优于B:( Prefer(ed)AtoB) AB(即ARB)A不劣于B A~B(即AIB)A无差别于B( difference i,展望( prospect):可能的前景 即各种后果及后果出现概率的组合 P=(p1,c1;…:p 既考虑各种后果( consequence) 又考虑了各种后果的概率( probability or likelihood)分布 所有P的集合记作P il|奖( (lottery))与确定当量 若C1~(p,C2;(1-p)C3 则称确定性后果C1为抽奖(p,C2;(1-p)C3)的确定当量 2效用的定义(A) 在集合P上的实值函数u,若它和P上的优先关系一致,即 若p u(p1)≥u(p2) 则称u为效用函数 三、效用存在性公理理性行为公理 94[169 公理1连通性( Connectivity)又称可比性 B1P2∈P,则p1P2orp1~p2orp2p1 公理2传递性( Transitivity) P,P2P3∈P,若P1p2,P2P3则pp3 公理3替代性公理(加等量时优先关系不变) 若n,P2p3∈P,p1p2且0<a<1 则对任何p∈P,必有ap1+(1-a)p3ap2+(1-a)p3 或者表达成:p1P2,∞>B则ap1+(1-a)p2βp1+(1-B)p2 即二种后果中,决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。 公理4连续性公理--偏好的有界性
3- 2 若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行 动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能 后果的偏好的期望值最高的行动。 二、效用的定义 1.符号 i,A B(即 APB)读作 A 优于 B：(Prefer(ed) A to B) A B(即 ARB) A 不劣于 B A～B(即 AIB) A 无差别于 B (Indifference) ii, 展望(prospect): 可能的前景 即各种后果及后果出现概率的组合 P=( p c 1 1 , ; …; p , c ; i i … p c n n , ) 既考虑各种后果 (consequence) 又考虑了各种后果的概率(probability or likelihood)分布 所有 P 的集合记作 p iii,抽奖(lottery)与确定当量 1.0 C3 C1 C2 p 1-p 若 C1 ( p,C2 ; (1 ), − p C3 ) 则称 确定性后果 C1 为抽奖 ( p,C2 ; (1 ), − p C3 ) 的确定当量 2.效用的定义(A) 在集合 p 上的实值函数 u，若它和 p 上的优先关系 一致，即: 若 p1 p2 , p , p1 p2 iff u( p1 )≥u( p2 ) 则称 u 为效用函数 三、效用存在性公理 理性行为公理 Von Neumann-Morenstern, 1994 [169] ·公理 1 连通性 (Connectivity)又称可比性 p1 p2 , p, 则 p1 p2 or p1 p2 or p2 p1 ·公理 2 传递性 (Transitivity) p1 p2 p3 , , p, 若 p1 p2 , p2 p3 则 p1 p3 ·公理 3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变) 若 p1 p2 p3 , , p, p1 p2 且 0 1 则 对任何 p3 ∈p ,必有 p1 +(1-) p3 p2 +(1-) p3 或者表达成： p1 p2 , 则 p1 +(1-) p2 p1 +(1-) p2 即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。 ·公理 4 连续性公理 ---- 偏好的有界性
若p1P2P3则存在0<a<1,0<β<1,>β 使ap1+(1-a)pP2βp1+(1-B)p3 由ap1+(1-x)p3P2可知p3不是无穷劣即u(p3)-∞ 由p2阝p1+(1-B)3可知p1不是无穷优即up1)∞ P即使是死亡,亦不至于无穷劣 例:i过马路 无法到 目的地 到目的地 若死亡为无穷劣,则不能过马路 ⅱ狂犬病疫苗 不注射 述公理看来是合乎理性的,事实上并不尽然 例: Allais悖论( Paradox 例如,1953年Alai在一次学术会议上提出如下问题,请效用理论权威 Sage回答 3-3
3- 3 若 p1 p2 p3 则 存在 01, 01, 使 p1 +(1-) p3 p2 p1 +(1-) p3 由 p1 +(1-) p3 p2 可知 p3 不是无穷劣,即 u( p3 )− 由 p2 p1 +(1-) p3 可知 p1 不是无穷优, 即 u( p1 ) p3 即使是死亡，亦不至于无穷劣 例：i,过马路 1 10−7 无法到 目的地 不过 过 死亡 到目的地 若死亡为无穷劣，则不能过马路 ii,狂犬病疫苗 1 10−6 注射 不注射 20 元 死亡 生存 上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然. 例：Allais 悖论（Paradox 〕 例如，1953 年 Allais 在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威 Svage 回答
Savage的回答是A组宁择 B组宁择ⅱ allais指出:B组的i,i,均以0.89的s500,000取代0.89的$0,即与A组的i,i相对应,照 公理3、A、B两组中,ⅱ,的优先关系应当不变。 Savage当时语塞 效用的公理化定义 在上述公理系统中,若P上存在实值函数u,使 p>P,当且仅当u(p)>u(P) ii. u(a Pr: 1-a P,=au(p)+(I-a)( P,) il对满足上述条件的u1,a2必有u1(p)=b2(p,)+c,其中b,c∈R,b>0 则u(P)称为(基数)效用函数 *关于线性:将ⅱu(ap;1-αp)=au(p2)+(1-au(p)推广到般 若P∈P;20,12-m;∑=则u∑4P)∑A,以P) 四、基数效用与序数效用( Cardinal! Ordinal Utility) 基数:实数:1,2,3,T 序数:第一,二,…,4,3,2,1 区别: 1基数效用定义在展望集P上(考虑后果及其概率分布),是实数 序数效用定义在后果集C上,不涉及概率,可以是整正数 2基数效用反映偏好强度:(正线性变换下唯一)
3- 4 A i. B i. i. i. $2,50,0 $50,0 $50,0 $0 $0 $0 $50,0 $2,50,0 1.0 .89 .01 .1 .1 .89 .1 Savage 的回答是 A 组宁择 .9 i， B 组宁择 ii， Allais 指出：B 组的 i, ii, 均以 0.89 的$500,000 取代 0.89 的 $0，即与 A 组的 i,ii,相对应，照 公理 3、A、B 两组中 i,ii,的优先关系应当不变。 Savage 当时语塞。 ·效用的公理化定义 在上述公理系统中，若 p 上存在实值函数 u，使 i, pi p j 当且仅当 u( pi ) ＞u( p j ) ii. u(α, pi ; 1-α, p j )= αu( pi ) +(1-α)u( p j ) iii, 对满足上述条件的 u1 , u2 必有 u1 ( pi ) =b u2 ( pi )+c , 其中 b, c ∈ R 1 , b＞0 则 u(P)称为(基数)效用函数 *关于线性：将 ii. u(α, pi ; 1-α, p j )= αu( pi ) +(1-α)u( p j ) 推广到一般, 若 pi ∈p ; i ≥0 , i=1,2,…m; i i =1; 则 u( i m = 1 i pi )= i m = 1 i u( pi ) 四、基数效用与序数效用 (Cardinal & Ordinal Utility) 基数：实数：1，2，3,π 序数：第一，二，…，4，3，2，1 ·区别： 1.基数效用定义在展望集 p 上(考虑后果及其概率分布),是实数; 序数效用定义在后果集 C 上，不涉及概率，可以是整正数 2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)
原数列可变换为b+c,2b+c,3b+c,Ttb+c,其中b,c∈R,b>0 而序数效用不反映偏好强度,(保序变换下唯-),原序数列可变换为 16,9,4,1,或86,4,2,或10,7,6,1等 序数效用的存在性公理 1连通性(可比 2传递性 3对任何确定的后果ⅹ,优势集与劣势集均为闭集。(教材:P29§3.1) §32效用函数的构造 离散型的概率分布 后果元素有限 各后果效用设定的步骤NM法 由公理4若p>P2>P3则可找到0<∝<1,使n2~ap1+(1∞)p3 第一步 选定C1,C2∈C,使C2>C1 令叫(C1)=0,u(C2) 所选择的C1、C2应使比较易于进行 第二步:对C2>C3>C1,求(0<∝<1),使C3~αC2+(1-a)C1 则u(C3)=u(aC2+(1-0)C1)=au(C2)+(1-u(C1) 第三步:若C4<C1,求α(0<∝<1),使C1~αC2+(1-a)C4 则u(C1)=u(aC2+(1-a)C4)=auC2)+(1-a)u(C4) 第四步:若C>C2,求α(0<∝<1),使C2~aC3+(1-) 则u(C2)=u(aC5+(1-a)C1)=au(C5) u(Cs=l/a 第五步:一致性校验 设C>C4>C3且C32C42C3已知, 由C4~aC5+(1-a)C3求得u(C4) 若u'(C4)与已知的u(C4)不符,则反复进行二、三、四步,直到致性校验通过
3- 5 原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, πb+c; 其中 b, c ∈ R 1 , b＞0. 而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变换为 16,9,4,1;或 8,6,4,2,或 10,7,6,1 等. ·序数效用的存在性公理 1.连通性(可比) 2.传递性 3.对任何确定的后果 x，优势集与劣势集均为闭集。(教材：P29 §3.1) §3.2 效用函数的构造 一、离散型的概率分布 后果元素有限 ·各后果效用设定的步骤 NM 法 由公理 4: 若 p1 p2 p3 ,则可找到 0<α<1, 使 p2 α p1 +(1-α) p3 第一步： 选定 C1 , C2 C , 使 C2 C1 令 u( C1 )=0, u( C2 )=1 所选择的 C1、 C2 应使比较易于进行. 第二步：对 C2 C3 C1 ,求α(0<α<1), 使 C3 α C2 +(1-α) C1 则 u( C3 )=u(α C2 +(1-α) C1 )= αu( C2 )+(1-α)u( C1 ) 第三步：若 C4 C1 , 求α(0<α<1), 使 C1 α C2 +(1-α) C4 则 u( C1 )=u(α C2 +(1-α) C4 )=αu( C2 )+(1-α)u( C4 ) u( C4 )=α/(α-1) 第四步：若 C5 C2 , 求α(0<α<1), 使 C2 α C5 +(1-α) C1 则 u( C2 )=u(α C5 +(1-α) C1 )= αu( C5 ) u( C5 )=1/α 第五步：一致性校验 设 C5 C4 C3 且 C5 , C4 , C3 已知， 由 C4 α C5 +(1-α) C3 求得 u’( C4 ) 若 u’( C4 ) 与已知的 u( C4 ) 不符，则反复进行二、三、四步，直到一致性校验通过. 例