压杆的平衡 PP<Per P≥Per 稳定性 当P<Pr 干扰力 当P≥Pr 当P<P时,压杆的直线平衡状态是稳定的 当P≥P时,直线平衡状态转变为不稳定的 受干扰后成为微弯平衡状态。 临界压力P 使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力, 也是在微弯平衡状态下的最小压力
6 压杆的平衡 稳定性 临界压力 Pcr 当 P Pcr时，压杆的直线平衡状态是稳定的。 当 P Pcr时，直线平衡状态转变为不稳定的， 受干扰后成为微弯平衡状态。 使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力， 也是在微弯平衡状态下的最小压力。 当 P Pcr 当 P Pcr
59.2两端铰支细长压杆的临界压力 两端铰支杆受压 P 力P作用 考察微弯平衡状态 P x处截面的弯矩 M=-P1 挠曲线近似微分 方程dM dx2=E/I—为截面最小的惯性矩 d-v p P +2y=0 d E/ El
7 §9. 2 两端铰支细长压杆的临界压力 两端铰支杆受压 力P作用 考察微弯平衡状态 x处截面的弯矩 M = −Pv 挠曲线近似微分 EI M x v = 2 2 d d I ⎯ 为截面最小的惯性矩 EI Pv x v = − 2 2 d d 方程 + v = 0 EI P v
P P +—1=0 dx El El 引入记号k P El 1"+kv=0 通解为y= Asin kx+ B kx 其中,A、B为积分常数,由边界条件确定。 边界条件为:x=0时,v=0;x=时,v=0 将x=0.1=0代入通解 B=0 将x=l,ν=0代入通解 asin kl=o
8 EI Pv x v = − 2 2 d d + v = 0 EI P v EI P k = 引入记号 2 0 2 v + k v = 通解为 v = Asin kx+ Bcoskx 其中，A、B为积分常数，由边界条件确定。 边界条件为: x = 0 时， v = 0; x = l 时， v = 0 将 x = 0, v = 0 代入通解 B = 0 将 x = l, v = 0代入通解 Asin kl = 0
边界条件为:x=0时,=0:x=时,1=0 将x=0,ν=0代入通解 B=0 将x=l,V=0代入通解 Asin kl=o 因A≠0.所以应有snkl=0 k=n,(n=0,1,2,…) 代入z2P p-nET El 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力,所以,应取n=1
9 边界条件为: x = 0 时， v = 0; x = l 时， v = 0 将 x = 0, v = 0 代入通解 B = 0 将 x = l, v = 0 代入通解 Asin kl = 0 因 A 0, 所以应有 sin kl = 0 k l = n, (n = 0,1, 2, ) 代入 EI P k = 2 2 2 2 l n EI P = 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力，所以，应取 n = 1
代入k2=2 p=nEr P El 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力,所以,应取n=1 丌2EI P 一欧拉公式 这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。 当取n=1时,由k/=n,k 则,挠曲线方程为y=Amxx
10 代入 EI P k = 2 2 2 2 l n EI P = 因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力，所以，应取 n = 1 。 2 2 l EI Pcr = 这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。 ⎯ 欧拉公式 当取 n = 1 时，由 kl = n, l k = 则，挠曲线方程为 l x v A = sin