第二章生成函勒37 p+q-1 2 →x2之怀數:(q為偶數 p+y 常p=4,q=2時,其值鶯: ()()+(1)(2)+(2)()=70 9.(a)擲二粒不同的骰子使其出現之點數和鳥r的可能方法 命露ar,試求數列:(a0,a1,a2,…,ar,…) 的普通生成函數。 (b擲一骰子若干次,使其出現點數和鳥r的可能方法 合a,,試證数列:(a。,a,a2,…,a,…) 之普通生成函數鳥:〔1-x…x2-x3-x4-x5-x6)-t 【解】 +x+x) 0(x++2+*+x2+x)(+22++x5 10.(a)設a,表從6件不同物品中取r件,雨每件物品最多只能被選三 次的方法,求數列:(a,a1,…,a,…) 的普通生成函數
38粗合數學問題詳解 (b)由(a)的秸果,求擲三粒相同骰子所能出現的粘果有多少種? 【解】: a)(1+x+x2+x3)° (b所求即(a中x3之倸數: (3)+((3)+() 11.a,表將整數分成相異質數和的不同分割數。 求數列:(ao,a1,…,a,,…)的普通生成函數。 【解】 所求即:(1+x)=(1+x2)(1+x2)(1+x5)(1+x2) 力:質數 2.a)擲兩粒相異骰子,使第…粒出現偶數點,第二粒出現奇數點, 且點敷和r。合a,表可能方法,求(a0,a;,ax,…)的普通 生成函數 (b求(ao,a1,a2,……,a,)之普涌生成函數,其中a,表!称 相異骰子,使其中5粒爲偶數,5粒奋數且和爲r之方汰 【解】 )(x+x3+x5) (t)( s、5 x十x“-}了 13.(a}求(ae;a1, )的普通生成函數,其中 a,表從{,1,2}中出r個的方法,可重複取,但0需后 俜数個
第二章生成卤數39 (b)由(a)求a,之明確表示式。 【解】 (a)A(x 2=(12)(12,) 0(1-x)2=总(+1)x=号(r+1)x =0 ∴A(x) 总x,(r+1) 式中x2之怀數露: 走+2 1+3+5+………+(k+1)= 4一,當k阁偶數 2+4+6+……+(+1) (起+1)(k+3) ,當烏奋數 14.設有一異常骰子,其6個面分别標示為1,2,3,4,5和7,合 ar表擲此骰子r次,使其點數和焉偶數的方法,試證數列(a a1,…)的普通生成函數露 T 【解】 (1-x)2:計算2l4的出现數 計算4個奋數的出現欢數
40合數硯盱題詳 算4個奇數的出現女數,但出現數 和鳥偶數 ()(+)(+) 2與4可出现任意次鹦 l,3,5,7出現數和感 偶數 15.設A(x)麦數列(a0,a1, )的普通生成凼數,求 普通生成函數鳥:A(x)(1-x)的數列。 〔(1-x)一骰叫做“差分邏算子"( difference oper at or) 【解】: A(x)·(1-x)=(a0+a1x+a2x2-…+a,x'+…)(1-x) aot(ar-ao)x+(a2. a1)x+.... ∴A(x)·(1-x)之數列舄 16.今A(x)鳥(a,a1,a2,……)之普通生成函數。 求(qo,q1·q2 之普通生成函數 其中q。=∑a;,(假散所有的q均是有限值) d二k+5 【解】: Ax)→(ao,a: A(1) i二G
第二生成医彰4 A(x) A(1)-A(x ∑a 鳥所求。 =+1 17.已知數列(1,b,b2,…,b”,…)的通生成函數焉1-。故 求普通生成图數bx 〔l-bx) 的對應數列。 【解】 b x b dx I-bx (ibx) dxI.-br (1-bx) n-1)b 3·2b I --bx n(n-1)(n-2)b"x sn(r-1)(n-2)…(n-k I) 7 (n-k)!k bx y )b*x