弔一章排列與粗合2 假M(j)>0。 合W是任意一個第j位是I的密碼字 若將恥1與N(j)個在第j位鶯0的密碼字分别求和 module2 ,則町以得到N1(j)個在第j位震1的不同密礴字,以 Na(j)≥N1(j) 若將W與N1(j)個在第j位簋l的密碼宇(包括W1自己分 别求和 module2,則可以得到N(j)個在第j位鳥O的不同 密碼字,所以 N1(j)≥N0(j) 由①丶@知N。(j)=N1(j)。 (2)由於任何一個密礴字與本身求和 module2會得到每位均鳥C p密碼字000…0,又密碼宇之間最短距離是(2r+1 除了全0以外剩餘的(A(r)-1)個密媽中的每個至少都要有 2r+1)涸1。因此,在表中至少有(4(r)-1)(2rr1 個】 nA(r 夂由(1知此表中最多只有 2個]。 ∵N。〔j)=N1(j)) nA、r (A(y)-1)(2y+1) 2 化簡可得 2(2r+1) A(r)s y 25.整數1,2,3,………,n的排列中,使每一整數的後面諸項中有
22租合數學問嶝洋驛 個與其差等於1的辨列有多少個?例如!,η=4時,1432是 種排列,丽2431却不是,因為3後面沒有典它相差等扮1的數 【解】 在此類排列中,最右邊的K個整數,K=1,2,……,〃心 須史能形成K個速牘數字的集合。 最左邊的整數僅能是1或n。若是1,則第二位整數僅能是 2或n。若是#,則第二位僅能是1或(n-1)。 重此討論步驟,值铏第(n-1)位而形成一個二元(η-」 序列。因此,最後可得 2"1個此種可接受的排列。 26.故a1,a2,a3 ,az,是″個1及n個(-1)的有序 數列( ordered sequence)o分∫(k)代表前項的台,朗 f(k 求具有下列性的數列有多少個? 2n 提示:定義新數g(k)使得 g(R)=IR Ih≤ (∫k)+2)m<k、2n 其中芳存在整數m使得∫m)=…1:别m是些整歉中最2 若此整存在的活。否别M-2n。 【解】 a2,所形的不用對粱共有 每侗數列其形成的對應數线g(1),g(2) R(2n)是唯一
第一章挑列與粗合23 ,因鳥可經由以下的轉换而得 a1=g(1) ax/(k)-g(k-1) 2k≤m g(k-1)-g( <k≤2 其中若存在整數〃使得g(m)=-1,則m道些整數中最小 的,否則m〓2n。 任何符合∫(}心0,是1,2,……2n的數列均使得 f(2n)=g(2")=0。 然而,對任何不符合∫(K)≥0的數列,g(2n)=-(f(2n) +2)=-2,且g(1),g(2),g(2n)数列中一定包含著(n+1 個“下降”與(n-1)個“上升” 故融共有(2n 個不合要求的数列,即符合的戴列有 n+1 2 2n 個 n十
第二章生成酌數 計算下列各式之和,其中n,m,k非負整數 a()(2)(2)+-+(2) 其中Q=「n,若n偶數 n-1,若n鳥奇數 ()(")("#2)-("m) 2n 2n-2 n n 2n- 2n-2 2 2 (()(2)X,)-(2)(n)()(7) 其中<min(m,九) (()()(:-)(2)("2 n一k (-1) 丌一k+1 n一k 0 25
26租合數舉問題群解 【解】 a)將(1+x)*及(1-x)·展開得 (1+x) (1-x)” 2n2 兩式左右相加得 (1+x)"+(1-x) x 2 q 其中q n-1,若n鳥奇數 若n鳥0;上式值篇1。 當n>0時,合x-1,得 (2”)=2 0 (b)(1+x) x+· n+1 n+1 n+1·x n 1+x)+1 0 0 n+2 n+2 +2 (1+x) …(n+2)x+2 0 n+2 n-+m (1+)" 0 1+“4/n十m 7+m k 所求即儇上式上端所示之x倸數和,其生成函數( genera ting f unction)氲 ∑(1+x)” (1+x)”一(1+x)…+1 (1+x) 〔(1+x)”++1-(1+x)〕