12.1非平稳序列 在方程两边求方差: Var(y,)=var >Es=vAr(6, )=to S=1 G2为扰动项E的方差。 S 当t→∞时,a(y)→∞(方差发散,故非平稳 若包含常数项,则为“带漂移的随机游走” y=B+y-1+E1 B≠0为每时期的平均“漂移”,因为F(v)=+y 随机游走是AR(1的特例。对于AR模型,y=B+Ay1+6 如果β1=↓则为随机游走。 6
在方程两边求方差： 为扰动项 的方差。 当 时 ， (方差发散)，故 非平稳。 若包含常数项，则为“带漂移的随机游走” 为每时期的平均“漂移” ，因为 随机游走是AR(1)的特例。对于AR模型， 如果 ，则为随机游走。 6 2 1 1 Var( ) Var Var( ) = = = = = t t t s s s s y t 2 s t → Var( ) yt → yt t t t = + + 0 1− y y 0 0 E( )t t = + 0 1− y y t t t = + + 0 1 1− y y 1 =1 12.1 非平稳序列
12.1非平稳序列 ◆随机游走的差分为平稳序列,称为“差分平稳”序列 。定义称平稳的时间序列为“零阶单整”,记为(0) 。若时间序列的一阶差分为平稳过程,称为“一阶单 整”,记为I(1),一般地,若时间序列的d阶差分为平 稳过程,称为“d阶单整”,记为r(d)。 1.对于(O)序列,由于它是平稳的,故长期而言有回到 其期望值的趋势。这种性质称为“均值回复” 2.非平稳的(1)序列会“到处乱跑”,没有上述性质 。比如,随机游走的方差越来越大,趋向无穷
随机游走的差分为平稳序列，称为“差分平稳”序列 。定义称平稳的时间序列为“零阶单整”，记为I(0) 。若时间序列的一阶差分为平稳过程，称为“一阶单 整”，记为I(1)，一般地，若时间序列的d阶差分为平 稳过程，称为“d阶单整”，记为I(d)。 1. 对于I(0)序列，由于它是平稳的，故长期而言有回到 其期望值的趋势。这种性质称为“均值回复” 。 2. 非平稳的I(1)序列会“到处乱跑” ，没有上述性质 。比如，随机游走的方差越来越大，趋向无穷。 7 12.1 非平稳序列
122ARMA的平稳性 十·MA()是平稳的,因为它是有限个白曝声的线性组合 ARMA(pq)的平稳性仅取决于AR(p)的部分 首先,考虑AR(1)模型: B0B6n-1+ 如A则平稳 一般地,考虑AR(P)模型: B+By-1+…+B2y-n+E 其稳定性取决于确定性齐次差分方程: =B1y1-1+…+B pψt-P 仍假设方程的解形式为指数函数,即 D,=2
8 12.2 ARMA的平稳性 MA(q)是平稳的，因为它是有限个白噪声的线性组合。 ARMA(p,q)的平稳性仅取决于AR(p)的部分。 首先，考虑AR(1)模型： 如 ，则 平稳。 一般地，考虑AR(p)模型： 其稳定性取决于确定性齐次差分方程： 仍假设方程的解形式为指数函数，即 t t t = + + 0 1 1− y y 1 1 yt t t p t p t = + + + + 0 1 1− − y y y t t p t p = + + 1 1− − y y y (1 ) − = = t t t y z z
122ARMA的平稳性 其中,的取值待定。将(1217)式代入(1216)式 -B2 2 0 两边同乘,可得AR(p)的特征方程: p(-)≡1-B12-…-Bn==0 此方程在复数域一定有P个根(含重根),如(=,=2,“F 差分方程(1216)有P个形如(/)的解,通解则是这p个解 的线性组合: 男=k+k(=)+k(2)+…+k( 其中,(k0k1…,k內待定常数,取决于初始条件 y0,y,…,y
其中， 的取值待定。将（12.17）式代入（12.16）式 ： 两边同乘 ，可得AR(p)的特征方程： 此方程在复数域一定有 个根(含重根)，如 差分方程(12.16)有 个形如 的解，通解则是这 个解 的线性组合： 其中， 为待定常数，取决于初始条件 9 z ( 1) ( ) 1 0 − − − − − − − − = t t t p p z z z 1 ( ) 1 0 − − − = p p z z z p 1 2 ( , , , ) p z z z (1 ) p t p z = + + + + 0 1 1 2 2 (1 1 1 ) ( ) ( ) t t t t p p y k k z k z k z 0 1 ( , , , ) p k k k y y y 0 1 1 , , , p− 12.2 ARMA的平稳性
122ARMA的平稳性 稳定解:特征方程的所有解须落在复平面上的单位 圆之外。 若特征方程的某个根落在单位圆之内,则为爆炸式增 长的非平稳过程; 若某个根正好落在单位圆之上,则称为“单位根 ,比如随机游走的情形。 10
稳定解：特征方程的所有解须落在复平面上的单位 圆之外。 若特征方程的某个根落在单位圆之内，则为爆炸式增 长的非平稳过程； 若某个根正好落在单位圆之上，则称为“单位根” ，比如随机游走的情形。 10 1 - i - 1 i 12.2 ARMA的平稳性