(5)IhWm132F2(x,x2) 当且仅当:任意a∈D,Iba3n2FP(x1,2) 当且仅当:任意a∈D,存在b∈D,使得 I o(aia(] F(x1, 22) 当且仅当:任意a∈D,存在b∈D,使得:<a,b>∈R 最后一个条件是成立的,因为只要取b=a即可 故Ih132F 例3.22 C与11如例320,σ为C在1中的任一个指派.问在I1中是否 满足下面的公式B vx1Vx2(x3P2(f3(x1,x23),x2)Ax4F2(f3(x2,x4),x1)→F2(x1,x2) 答:1B 对任意m1∈N (x1/1) (3x3F2(3(x1,x3),x2) ∧彐x4F2(f3(x2,x4),x1)→F2(x1,x2) 对任意的m1∈N,m∈N, (x1/1 m72 (彐x3F2(3(x,x3),x2)x4F2(3(x2,x4),x1)→F2(x1,x2 对任意m1,m2∈N 若11 T(x1/m1)(x2/m2 彐x3F2(f(x1,x3),x2)∧彐x4F2(3(x2,x4),x1), 则I1 0(x1/m1)(x2/m2)
(5) I | σ ∀x1∃x2F2 (x1, x2) FMNF:/ a ∈ D, I | σ(x1/a) ∃x2F2(x1, x2). FMNF:/ a ∈ D, Y b ∈ D, Z[ I | σ(x1/a)(x2/b) F2(x1, x2). FMNF:/ a ∈ D, Y b ∈ D, Z[ < a, b >∈ R. ;87XOP < =6_ b = a (4 ] I | σ ∀x1∃x2F2(x1, x2). ! 3.22 L ( I1 G 3.20, σ L I1 : - > σ I1 S K2` β: ∀x1∀x2((∃x3F2(f 2 3 (x1, x3), x2) ∧ ∃x4F2(f 2 3 (x2, x4), x1)) → F2(x1, x2)) ?I1 | σ β ⇔ :/ m1 ∈ N , I1 | σ(x1/m1) ∀x2((∃x3F2(f 2 3 (x1, x3), x2) ∧ ∃x4F2(f 2 3 (x2, x4), x1)) → F2(x1, x2)). ⇔ :/ m1 ∈ N , m2 ∈ N , I1 | σ(x1/m1)(x2/m2) (∃x3F2(f 2 3 (x1, x3), x2)∧∃x4F2 (f 2 3 (x2, x4), x1)) → F2 (x1, x2). ⇔ :/ m1, m2 ∈ N , V I1 | σ(x1/m1)(x2/m2) ∃x3F2(f 2 3 (x1, x3), x2) ∧ ∃x4F2 (f 2 3 (x2, x4), x1), . I1 | σ(x1/m1)(x2/m2) F2 (x1, x2). 6
分对任意m1,m∈N, 若Iosm/(ym3xF2(∫m2,2 且I1 (1/m1)(x2/m2 x4F2(3(x2,x4),x1) 则h1hn (x1/m1)(x2/m2 F2(x1,2) 分对任意m1,m2∈N, 若存在m3∈N使得 1 (x1/m1)(x2/m2)(x3/m F2(3(x1,x3,x2) 且存在m4∈N使得 11 (x1/m1)(x2/m2)(x4/m4) mF2(3(x2,x小,x1 则11 σ(x1/m1x2/m2 台对任意m1,m2∈N, 若存在m3∈N使得m1·m3=m2 且存在m4∈N使得m2·m4=m 则m1 台对任意m,m2∈N,若m1|m2,且m2m1,则m1=m2 从而h6 类似地,对C在I2如的任一个指派O 1份B分对任意m1,m2∈Q, 若存在m3∈Q使得m1·m3=m2 且存在m4∈Q使得m2·m4=m1, 71 m72 从而3
⇔ :/ m1, m2 ∈ N , V I1 | σ(x1/m1)(x2/m2) ∃x3F2(f 2 3 (x1, x3), x2), M I1 | σ(x1/m1)(x2/m2) ∃x4F2(f 2 3 (x2, x4), x1), . I1 | σ(x1/m1)(x2/m2) F2(x1, x2). ⇔ :/ m1, m2 ∈ N , VY m3 ∈ N Z[ I1 | σ(x1/m1)(x2/m2)(x3/m3) F2(f 2 3 (x1, x3), x2), MY m4 ∈ N Z[ I1 | σ(x1/m1)(x2/m2)(x4/m4) F2(f 2 3 (x2, x4), x1), . I1 | σ(x1/m1)(x2/m2) F2 (x1, x2). ⇔ :/ m1, m2 ∈ N , VY m3 ∈ N Z[ m1 · m3 = m2, MY m4 ∈ N Z[ m2 · m4 = m1, . m1 = m2. ⇔ :/ m1, m2 ∈ N , V m1|m2, M m2|m1, . m1 = m2. TU I1 | σ β . @AB, L I2 : - σ, I2 | σ β ⇔ :/ m1, m2 ∈ Q, VY m3 ∈ Q Z[ m1 · m3 = m2, MY m4 ∈ Q Z[ m2 · m4 = m1, . m1 = m2. TU I2 | σ / β 7