第五章连续系统的s域分析 对上式取逆变换,得子系统的冲激响应 h3(t)=X[H3(s)]=38(t)-8ee(t) ◎5.24如图5-18所示的复合系统是由2个子系统组成,子系统的系统函数或冲激响应 如下,求复合系统的冲激响应 (1)H1(s) s+1,h2(t)=2e-·e(t) (2)H1(s)=1,h2(t)=8(t-T),T为常数 分析由系统框图可得系统输入和输出象函数的关系,由H(3)=Y(可求得复合系 统的系统函数H(s),求其逆变换得复合系统的冲激响应 解(1)由已知可得 H2(s)=h2(t)] 由加法器的输出可列出方程 Y(s=1/()·H2(s)+F(s) 可解得 H(s)=y(s)= F(s)1-H1(s)H2(s) 将H1(s)和H2(s)代入上式,得系统函数 + 对上式求逆变换,得复合系统的冲激响应 h()=x[H(s)]=1(2+c-)e(t) (2)由已知可得 H2(s)=h2(t)]=e 由加法器的输出可列出方程 1(s)=Y(s)H2(s)+F(s) 可解得 H(s) FCs) 1-B1(,HB, 将H1(s)和H2(s)代入上式,得系统函数 对上式求逆变换,得复合系统冲激响应为
/01 !"#$%!&’( wØ,‘^)*&çno#qrst :2"%## !&!)92"!#*#2)"%#&9%&3% #"%# 2)"’3 ÑÆ)&!9ÂÇ#=[noy’¥çnoÚv&çno#noXY7qrst Ñ&\=[no#qrst Æ)&!9 "!#9!"!## ! !’!&:’"%##’%&’%%#"%# "’#9!"!##!&:’"%##)"%&=#&= H?Y ’( noûÆÁno©ª¤©åWXY#mn& 9"!##C$"!# ""!#Á\=[n o#noXY 9"!#&\^)*=[no#qrst$ ? "!#®¯Á 9’"!## !):’"%#*# ’ !’’ r‘k#©åÁå_Î C$"!# 9!"!##C$"!#%9’"!#’""!# Á] 9"!##C$"!# ""!## 9!"!# !&9!"!#9’"!# ½ 9!"!#¤ 9’"!#ÕªØ,&noXY 9"!## !’’ !"!’2## ’ 2 ! ’ ! 2 !’2 wØ,\^)*&=[no#qrst :"%## !&!)9"!#*# ! 2"’’%&2%##"%# "’#®¯Á 9’"!## !):’"%#*#%&=! r‘k#©åÁå_Î C$"!# 9!"!##C$"!#9’"!#’""!# Á] 9"!##C$"!# ""!## 9!"!# !&9!"!#9’"!# ½ 9!"!#¤ 9’"!#ÕªØ,&noXY 9"!## ! !&%&=! # &+#$ # %&+=! wØ,\^)*&=[noqrstH %!!(%
信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 h(t)=x[H()]=∑8(t-mT) O.25若题5.24中H1(s)=x=2(这样的系统是不稳定的),为使复合系统的冲激响应 h(t)=e-(t),求h2(t)。 解由已知可知 H(s)=h(t)]= 由加法器的输出可列出方程 Y(s) ()Y,(s)H2(s)+F(s) 可解得 H()=F(s)=1-H1(5)H2(5 将H1(s) 代入上式,得 2-H2(s) 则有 2-H2( 解得 求逆变换,得 h2(t)=x1[H2(s)]=-58(t) ◎5.26如图5-19所示系统,已知当f(t)=ε(t)时,系统的零状态响应y(t)=(1 5e21+5e)e(1),求系统a、b、c 图5-19 分析由系统框图可得系统函数H(s)(含有待定系数a、b、c),由系统输人和输出信号的 象函数F(s)和Y(s)可求得系统函数H(s)= Y,(s) F(s),比较二者即可确定待定系 数a、b 解设图中右端积分器的输出为X(s),则两个积分器的输入分别为s2X(s),sX(s)。由 左端加法器的输出可列出象函数方程 s"X(s)= asX(s)+bX(s)+F(s) 由右端加法器输出可列出方程 Y(s)=sX(s)+cX(s)=(s2+c)X(s) 从以上两式中消去X(s),可得系统函数
23456#$’(789:;<=>? :"%## !&!)9"!#*# &,#$ # )"%&,=# 1)"’) fÀ)"’3P 9!"!## ! !&’"s#noy7##&Hì=[no#qrst :"%##%&2% #"%#&\:’"%#$ ? ®¯Á¯ 9"!## !):"%#*# ! !’2 r‘k#©åÁå_Î C$"!# 9!"!##C$"!#9’"!#’""!# Á] 9"!##C$"!# ""!## 9!"!# !&9!"!#9’"!# ½ 9!"!## ! !&’ÕªØ,& 9"!## ! !&’&9’"!# iõ ! !’2# ! !&’&9’"!# ] 9’"!##&) \^)*& :’"%## !&!)9’"!#*#&))"%# 2)"’4 ÑÆ)&!;ÂÇno&®¯$"%###"%#5&no#!_st@$"%## "!& )%&’% ’)%&2%##"%#&\no),*,.$ Æ)&!; ’( noûÆÁnoXY9"!#"#õt7nY),*,.#&no©ª¤©å!"# WXY""!#¤C$"!#Á\noXY 9"!##C$"!# ""!#&op;q¿Á¬7t7n Y),*,.$ ? êÆPu{A@k#©åH A"!#&iÒ¥A@k#©ª@ H!’ A"!#&!A"!#$ L{r‘k#©åÁåWXY_Î !’ A"!##)!A"!#’*A"!#’""!# ¿ "!’ &)!&*#A"!##""!# u{r‘k©åÁå_Î C$"!##!’ A"!#’.A"!## "!’ ’.#A"!# óÃØÒ,Pvw A"!#&ÁnoXY %!!)%
第五章连续系统的s域分析 H(s=Y(s Fs) s2-as-b 又由已知可得 F(s)=ff(J== Y(s)=y(t)] 15 ss+2s+3s(s+2)(s+3 则系统函数为 H(s )=y(g) (s)s2+5s+6 即有 s2+6 bs2+5s+6 比较两边系数可得 ◎5.27系统如上题图所示,已知当f(t)=ε(t)时,其全响应y(t)=(1-e-+2e-2)e(t) 求系数a、b、c和系统的零输入响应y(t) 分析由系统框图可求得含有待定系数a,b,c的系统函数,由此可得描述系统的微分方 程,且拉普拉斯变换法求解可得系统全响应的象函数Y(s)=Y(s)+Y(s),与 Y(s)=y(t)]比较系统可确定a、b、c,同时可得零输入响应y(t)。 解设图中右端积分器的输出为X(s),则两个积分器输入分别为s2X(s),sX(s)。由左端 加法器的输出可列出象函数方程 sX(s)=asX(s)+bX(s)+F(s) 即 bX(s)= F(s) 由右端加法器输出可列出方程 Y (s)=sX(s)+cX(s)=(s2+c)X(s) 从以上两式中消去X(s),可得系统函数 (s)s2 又系统函数H(s)的分母、分子多项式的系数与系统微分方程的系数一一对应,则 可得描述系统的微分方程为 (t)-ay'(t)-by(t)=f(t)+cf(t) 对上式进行拉普拉斯变换,得 s2Y(s)-sy(0-)-y(0-)-a[sY(s)-y(0-)]-bY(s)=s2F(s)+cF(s) 即 (s2-as-b)Y(s)-[sy(0-)+y(0-)-ay(0-)]=(s2+c)F(s) 可解得 s2 又由已知可得 F(s)=f(t)]
/01 !"#$%!&’( 9"!##C$"!# ""!## !’ ’. !’ &)!&* +®¯Á ""!## !)$"%#*# ! ! C$"!## !)@$"%#*# ! !& ) !’’’ ) !’2# !’ ’4 !"!’’#"!’2# inoXYH 9"!##C$"!# ""!## !’ ’4 !’ ’)!’4 ¿õ !’ ’. !’ &)!&*# !’ ’4 !’ ’)!’4 opÒ%nYÁ )#&)&*#&4&.#4 2)"’5 noÑØÀÆÂÇ&®¯$"%###"%#5&Êst@"%## "!&%&% ’’%&’%##"%#& \nY),*,.¤no#!©ªst@-"%#$ ’( noûÆÁ\#õt7nY)&*&.#noXY&ÅÁaÙno#?@_ Î&ò&’&()*‘\]ÁnoÊst#WXYC"!##C-"!#’C$"!#&p C"!## !)@"%#*opnoÁ¬7),*,.&z5Á!©ªst@-"%#$ ? êÆPu{A@k#©åHA"!#&iÒ¥A@k©ª@ H!’ A"!#&!A"!#$L{ r‘k#©åÁåWXY_Î !’ A"!##)!A"!#’*A"!#’""!# ¿ "!’ &)!&*#A"!##""!# u{r‘k©åÁå_Î C$"!##!’ A"!#’.A"!## "!’ ’.#A"!# óÃØÒ,Pvw A"!#&ÁnoXY 9"!##C$"!# ""!## !’ ’. !’ &)!&* +noXY 9"!##@I,@çi$,#nYpno?@_Î#nYggwt&i ÁaÙno#?@_ÎH @M"%#&)@B"%#&*@"%##$M"%#’.$"%# wØ,·¸&’&()*& !’ C"!#&!@"$& #&@B"$& #&))!C"!#&@"$& #*&*C"!##!’ ""!#’.""!# ¿ "!’ &)!&*#C"!#& )!@"$& #’@B"$& #&)@"$& #*# "!’ ’.#""!# Á] C"!##C-"!#’C$"!##!@"$& #’@B"$& #&)@"$& # !’ &)!&* ’ !’ ’. !’ &)!&* ""!# "!# +®¯Á ""!## !)$"%#*# ! ! @"$& ##! %!!"%
信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 Y(s)=y(1]=1--1+ +3s+2 3s2+2s 将以上四式代入(1)式,可得 as+c 比较系数可得a=-3,b=-2,c=2。代入(1)式可得 Y (s) 对上式取逆变换,得零输入响应 y2 [Y(s)]=( o5.28某LTI系统,在以下各种情况下其初始状态相同。已知当激励f1(t)=8(1)时,其 全响应y1(t)=(t)+ee(t);当激励f2(t)=ε(t)时,其全响应y2(t) 3e(t)。 (1)如f3(t)=e2(1),求系统的全响应; (2)如f4(t)=te(t)-E(t-1)],求系统的全响应 分析系统的初始状态相同,由LTⅠ系统的齐次性和可加性可知 Y1(s)-Y2(s)=Yn(s)-Yn2(s)=H(s[F1(s)-F2(s)] 由此可得系统函数H(s),进而可求得Y(s),再根据系统输入的象函数可求出系 统全响应的象函数,求其逆变换得系统全响应。 解由已知可得 F1(s)=f1(t)]=1 F2(s)=1(]=1 Y1()=y(1)]=Yn()+Y()=斗 Y2(s)=y2(t)]=Yn(s)+Yn2(s)= 由系统初始状态相同,则有Y(s)=Y2(s),可得 Y1(s)-Y2(s)=Yn(s)-Ya(s)=H(s)[F1(s)-F2(s)]=s71 由此可得系统函数 H(s)=s-1 s+1F1(s)-F2(s)s+ 则系统零输入响应为 Y21(s)=Y1(s)-Yn2(s)=Y1(s)-H(s)F2(s) (1)F3(s)=f3(t)]= 则系统全响应的象函数 Y (s)=Y,(s)+H(sF,(s) 230
23456#$’(789:;<=>? @B"$& ##$ C"!## !)@"%#*# ! !& ! !’!’ ’ !’’# ’!’ ’2!’’ !2 ’2!’ ’’! ½ÃØx,Õª"!#,&Á ’!’ ’2!’’ !2 ’2!’ ’’!# ’!’ &)!’. !2 &)!’ &*! opnYÁ )#&2&*#&’&.#’$Õª"!#,Á C-"!## !’2 !’ ’2!’’# ’ !’!& ! !’’ wØ,‘^)*&!©ªst @-"%## !&!)C-"!#*# "’%&% &%&’%##"%# 2)"’9 ¨<=>no&KÃ>yEP_Cz$®¯rx$!"%##)"%#5& Ês t @!"%## )"%#’%&% #"%#( r x $’"%###"%#5& Ê s t @’"%# #2%&% #"%#$ "!#Ñ$2"%##%&’% #"%#&\no#Êst( "’#Ñ$3"%##%)#"%#&#"%&!#*&\no#Êst$ ’( no#EP_Cz&5=8 no#zJ/¤Ár/Á¯ C!"!#&C’"!##C$!"!#&C$’"!## 9"!#)"!"!#&"’"!#* ÅÁnoXY 9"!#&·ôÁ\C-"!#&{îÖno©ª#WXYÁ\ån oÊst#WXY&\^)*noÊst$ ? ®¯Á "!"!## !)$!"%#*#! "’"!## !)$’"%#*# ! ! C!"!## !)@!"%#*#C-!"!#’C$’"!##!’’ !’! C’"!## !)@’"%#*#C-’"!#’C$’"!## 2 !’! noEP_Cz&iõC-!"!##C-’"!#&Á C!"!#&C’"!##C$!"!#&C$’"!## 9"!#)"!"!#&"’"!#*#!&! !’! ÅÁnoXY 9"!##!&! !’!% ! "!"!#&"’"!## ! !’! ino!©ªstH C-!"!##C!"!#&C$’"!##C!"!#&9"!#"’"!## ’ !’! "!#"2"!## !)$2"%#*# ! !’’ inoÊst#WXY C2"!##C-!"!#’9"!#"2"!## ’ !’!’ ! !’!% ! !’’# ! !’!’ ’ !’’ %!$*%
第五章连续系统的s域分析 对上式取逆变换,得系统全响应 y3(t)=[Y3(s)]=(e+2e2)e(t) (2)F()=f4(1)]=1-(s+1)c 则系统全响应的象函数 Y(s)= Y(s)+H(s)F(s) 1-(s+1)e 对上式取逆变换,得系统全响应 y4(t)=[Y(s)]=(1+e-)e(t)-e(t-1) ●5.29如图5-20所示电路,其输入均为单位阶跃函数e(t),求电压u(t)的零状态响应 图5-20 分析根据KVL和KCL在s域中求解电压a(t)的象函数,取逆变换得u(t)的零状态 响应 解(1)考虑到零状态响应,则有uc(0-)=0,i(0-)=0,则s域电路模型与原电路形 式相同。电压a(t)的象函数 sI 将I(s)=近()]=-和各元件数值代入上式,得 U(s)= s2+4 取上式逆变换,得电压u(t)的零状态响应 u (t)= sin(2t) e(t)v (2)考虑到零状态响应,则有uc(0-)=0,i(0-)=0,则s域电路模型与原电路形 式相同。电压u(t)的象函数 sL+ U(s)= Us(s)= RCUS(S) R+
/01 !"#$%!&’( wØ,‘^)*&noÊst @2"%## !&!)C2"!#*# "%&% ’’%&’%##"%# "’#"3"!## !)$3"%#*#!& "!’!#%&! !’ inoÊst#WXY C3"!##C-!"!#’9"!#"3"!# # ’ !’!’ ! !’!%!& "!’!#%&! !’ # ! !’ ! !’!&%&! ! wØ,‘^)*&noÊst @3"%## !&!)C3"!#*# "!’%&%##"%#&#"%&!# 9)"’; ÑÆ)&’$ÂÇÈÉ&©ªZH$¦h§XY#"%#&\ÈëE"%##!_st$ Æ)&’$ ’( îÖ A?<¤ AF<K!6P\]ÈëE"%##WXY&‘^)*E"%##!_ st$ ? "!#%!_st&iõE6"$& ##$&15"$& ##$&i!6ÈÉÏÐpHÈÉT ,Cz$ÈëE"%##WXY G"!## !5%! !6 !5 ’ ! !6 %8"!## ! 6 !8"!# !’ ’ ! 56 ½8"!## !)1"!#*# ! ! ¤>klYFÕªØ,& G"!## ’ !’ ’3 ‘Ø,^)*&ÈëE"%##!_st E"%##8.:"’%##"%#? "’#%!_st&iõE6"$& ##$&15"$& ##$&i!6ÈÉÏÐpHÈÉT ,Cz$ÈëE"%##WXY G"!## !5%! !6 !5 ’ ! !6 4 ’ !5%! !6 !5 ’ ! !6 GG"!## ! 46 ! !’ ’ ! 46 !’ ! 56 GG"!# %!$#%