大学物理：《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第四章 非线性振动 §4.7 能导致混沌的倒摆的受迫振动

54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 1.运动方程的建立 弹簧产生的力矩为-c0 空气阻力为B(O+q)≈-B 重力产生力矩为m!s(+9)≈mlsn≈mg(0、O 6 倒摆的运动微分方程为 m1/(+)=-c6+ glair(b+q)-B2(6+q) m120+B70+(c-mgD)0+-mg10=m/222AcosQ2t

§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 1.运动方程的建立 弹簧产生的力矩为 − c 空气阻力为         − l( + )  − l 重力产生力矩为 ) 6 sin( ) sin ( 3  mgl  +  mgl   mgl  − 倒摆的运动微分方程为 ( ) sin( ) ( ) 2 2            ml  + = −c + mgl + − l + m l + l + c − mgl + mgl = m l  Acost 6 1 ( ) 2 2 3 2 2       

54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 条件 c< mgl 2对方程进行无 量纲化 d e Bde mgl-c dt m dT 8 e3=AQ2 coS Q2T p=A cos S2t

§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 2.对方程进行无 量纲化 条件：   c  mgl     2 2 2 d d d d ml mgl c T m T − + − A T l g + =  cos 6 3 2 

54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 2.2=m!1-c ml →T0=1/2 在无驱动力时系统具有3个平衡位置 b=0 6c 0 O=±16 x mgl T因而有 t= 0 d o bdo mgl-c 6+363=A92cos9T dt m dT 6

§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 2 2 0 ml mgl − c  = 在无驱动力时系统具有3个平衡位置  = 0 mgl 6c 6  0 =  − T0 =1 0  0  x = T0 T t = A T l g ml mgl c T m T + =   − + − cos d 6 d d d 3 2 2 2 2      因而有

54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 d'x b dx A Q x+x cos(t) dt2mQ。dt A Q O mo oi+a-x+x'=fcos at 受迫 Duffins g 对方程进行无量纲化的好处至少有 方程,两方面:(1)方程涉及的只是数量关 系;(2)更重要的是取不同的长度单 位和时间单位时,方程中各项系数的大 小不同,显示出不同景象

§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 ( ) cos( ) d d d d 0 2 0 0 3 0 2 2 t A x x t x t m x     − + =  +   0 = m   0   = 2 0 0 ( )   =  A f x x x x f cost 3  +  − + = 受迫 Duffing 方程 对方程进行无量纲化的好处至少有 两方面:（1）方程涉及的只是数量关 系;（2）更重要的是取不同的长度单 位和时间单位时, 方程中各项系数的大 小不同，显示出不同景象

54-7能导致混沌的倒摆的受迫振动 3数值计算的结果和对结果的分析 aX y dt =-6y+x 0.5 x+f cos at -0.5 (1)对初值的 敏感和李雅普 诺夫指数 10 20 40 50

§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动 3.数值计算的结果和对结果的分析 x f t y x t y y t x cos δ d d d d 3 + = − + − = （1）对初值的 敏感和李雅普 诺夫指数