第七章分析力学的变分原理 第七章分析力学的变分原理 约束的分类广义坐标 虛位移和虚功理想约束 虚功原理 哈密顿原理
第七章 分析力学的变分原理 • 约束的分类 广义坐标 • 虚位移和虚功 理想约束 • 虚功原理 • 哈密顿原理 第七章 分析力学的变分原理
§71约束的分类广义坐标 约束方程 由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束 MAL v=0 x 初始条件和受力决 约束物:铁丝 定轨迹是直线 限制:x=0,z=0 限制包括对位置和对速度的限制 设系统由n个质点组成,以xnyz表示第个质点的坐标则 约束方程为 f(x12y2,=1,x,,,1)=0
§7-1 约束的分类 广义坐标 一、 约束方程 由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束. v = 0 mg 初始条件和受力决 定轨迹是直线 约束物：铁丝 限制：x = 0,z = 0 O y x 限制包括对位置和对速度的限制. 设系统由n个质点组成, 以xi , yi , zi 表示第i个质点的坐标, 则 约束方程为 f (xi , yi ,zi , x i , y i ,z i ,t) = 0 i = 1,2,...,n
§71约束的分类广义坐标 (1)球面摆的约束,OM为刚性轻杆 2 设点为直角坐标原点,则质点O 的坐标方程满足 x+)x、2n2 72=0 若O点不固定,在方向有一恒定 速率,t=0时O点处于坐标原点,则 约束方程为 (x-1)+y2+2-2=0 若刚性轻杆换成柔软轻绳(绳长仍为l,不可伸长) 则约束方程为 O点固定x2+y2+2-1≤0 O点不固定(x-1)+y2+2-2≤0
§7-1 约束的分类 广义坐标 （1）球面摆的约束，OM为刚性轻杆 O M m l x y z 设O点为直角坐标原点，则质点 m的坐标方程满足 0 2 2 2 2 x + y + z −l = 若O点不固定，在x方向有一恒定 速率v，t＝0时O点处于坐标原点，则 约束方程为 ( ) 0 2 2 2 2 x − v t + y + z −l = 若刚性轻杆换成柔软轻绳（绳长仍为l，不可伸长）， 则约束方程为 O点固定 O点不固定 0 2 2 2 2 x + y + z −l ( ) 0 2 2 2 2 x − v t + y + z −l
§71约束的分类广义坐标 (2)半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动,约束 方程表示为 MAL R=0 在一定初始条件下积分可得 R R=0 两组约束方程分别表明了地面对车轮的位置和速度的 限制
§7-1 约束的分类 广义坐标 （2）半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动, 约束 方程表示为 − = = 0 0 x R y c c 在一定初始条件下积分可得 − = = x R 0 y R c c 两组约束方程分别表明了地面对车轮的位置和速度的 限制
§71约束的分类广义坐标 (3)在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀,冰面对冰刀横向 运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着冰刀的纵向 以冰刀的质心坐标x,y和转角 作为冰刀的位置坐标则冰刀的 C, 约束方程为 cot 上式还可写成dx,= cot dy 由于cot与y的函数关系不能确定,所以不可积分
§7-1 约束的分类 广义坐标 (3) 在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀, 冰面对冰刀横向 运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着冰刀的纵向. 以冰刀的质心坐标xc , yc和转角 作为冰刀的位置坐标, 则冰刀的 约束方程为 = cot c c y x 上式还可写成 c c dx = cotdy 由于cot与yc的函数关系不能确定, 所以不可积分