973虚功原理(微分形式的变分原理) 一、虚功原理 受有理想约束、定常约束的力学系统,保持静平 衡的必要充分条件是作用于该系统的全部主动力的 虚功之和为零 ∑ F·6r=0 在直角坐标系中,上式写成 ∑(F.8x+F28y+F8)=0
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 一、虚功原理 受有理想约束[、 定常约束]的力学系统, 保持[静]平 衡的必要[充分]条件是作用于该系统的全部主动力的 虚功之和为零. δ 0 1 = = i n i i F r 在直角坐标系中, 上式写成 ( δ δ δ ) 0 1 + + = = i i y i i z i n i i x F x F y F z
973虚功原理(微分形式的变分原理) 必要条件的证明: 当力学系统相对惯性系处于[齡]平衡时, F+ +F2) 6=0i=1,2 ∑F·6+∑ Fn·δr;=0 R 对理想约束 ∑ F·δF:=0
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 当力学系统相对惯性系处于[静]平衡时, Fi + FRi = 0 i = 1,2,...,n (Fi + FRi) δri = 0 i = 1,2,...n δ δ 0 1 1 + = = = i n i i R i n i i F r F r 必要条件的证明： 对理想约束 0 0 δ 0 1 = = i n i i F r
973虚功原理(微分形式的变分原理) 充分条件的证明: 若系统的主动力虚功之和为零,∑F67=0 MAL 对于受有理想约束的系统∑F0+∑F26=0 力学系统的约束是定常的,各质点的无限小实位移 必与其中一组虚位移重合,故系统的主动力和约束 力的实功之和也满足上式 ∑F·+∑F8:dF=0 根据质点系的动能定理d7=∑F·d+∑Fd=0 T=常量说明系统开始时静止,以 后就会始终保持静止
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 若系统的主动力虚功之和为零, 充分条件的证明： δ 0 1 = = i n i i F r 对于受有理想约束的系统 δ δ 0 1 1 + = = = i n i i Ri n i i F r F r 力学系统的约束是定常的, 各质点的无限小实位移 必与其中一组虚位移重合, 故系统的主动力和约束 力的实功之和也满足上式 d d 0 1 1 + = = = i n i i R i n i i F r F r 根据质点系的动能定理 d d d 0 1 1 = + = = = i n i i R i n i i T F r F r T =常量 说明系统开始时静止, 以 后就会始终保持静止
973虚功原理(微分形式的变分原理) 几点说明: (1)普适性 (2)在变动中寻找平衡的条件例如单摆 6≠0时,mg·b≠0 0=0时,mg.=0 mg 6=0的位置为单摆的平衡值置 (3)与牛顿力学不同,分析力学的方法不是将注意力 放在区分内力和外力上,而是放在区分主动力和约束 力上
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 几点说明： (1) 普适性. (2) 在变动中寻找平衡的条件. 例如单摆 mg r mg r 0时, mg r 0 = 0时, mg r = 0 = 0的位置为单摆的平衡位置 (3) 与牛顿力学不同, 分析力学的方法不是将注意力 放在区分内力和外力上, 而是放在区分主动力和约束 力上
973虚功原理(微分形式的变分原理) 如图所示提升重物的装置, 以把手端点的弧坐标为广义坐标, 设重物距地面高度为h, 根据虚功原理Fδs-Wδz=0 F=WSh /Ss 如果知道和的函数关系,通过上式就可求出F (4)虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零,是 对任意的虚位移而言的,而不是针对特殊的虚位移 由于虚功原理的方程中不出现约束力因此不能由虚 功原理求出约束力但是通过释放约束或用不定乘 子法可以求出约束力
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 如图所示提升重物的装置 , 以把手端点的弧坐标s为广义坐标, 设重物距地面高度为h, 根据虚功原理 Fδs −Wδh = 0 F =Wδh δs 如果知道h和s的函数关系, 通过上式, 就可求出 F (4) 虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零, 是 对任意的虚位移而言的, 而不是针对特殊的虚位移 . 由于虚功原理的方程中不出现约束力, 因此不能由虚 功原理求出约束力, 但是, 通过释放约束或用不定乘 子法, 可以求出约束力