物理奥林匹克竞赛：全国物理奥林匹克竞赛第27届决赛试题（含参考答案）

八、(10分)空心激光束是一种在传播方向上中心光强为零的圆筒形光束。由于这一特 征，它可以把某些微小粒子约束在激光束的中心部位，作为激光导管，激光镊子、光学扳 手等，实现对纳米粒子、生物细胞等微小粒子的精确操控。空心激光技术目前在生物学、 激光加工、原子冷却等方面得到了广泛的应用，正逐渐成为一门新兴的学科分支。 产生空心激光束的基本做法是利用光学系统将一束实心的圆柱形激光转换成为一束空心的 激光。给定如下光学器件：焦距为∫的凸透镜，圆锥角为45°的锥面反射镜，半径为R的 球面镜（中间有圆孔），如图： 利用上述光学器件设计一光学系统，使得一束很细的实心圆柱入射激光转化成一束空心的 出射激光，且空腔为圆柱形，半径为r。请回答如下问题： 1.画出该光学系统的光路图。 2.求该光学系统中锥面镜顶点到球面镜球心的距离x。 (a (b) (c)

八、（10 分）空心激光束是一种在传播方向上中心光强为零的圆筒形光束。由于这一特 征，它可以把某些微小粒子约束在激光束的中心部位，作为激光导管，激光镊子、光学扳 手等，实现对纳米粒子、生物细胞等微小粒子的精确操控。空心激光技术目前在生物学、 激光加工、原子冷却等方面得到了广泛的应用，正逐渐成为一门新兴的学科分支。 产生空心激光束的基本做法是利用光学系统将一束实心的圆柱形激光转换成为一束空心的 激光。给定如下光学器件：焦距为 f 的凸透镜，圆锥角为 45的锥面反射镜，半径为 R 的 球面镜（中间有圆孔），如图： 利用上述光学器件设计一光学系统，使得一束很细的实心圆柱入射激光转化成一束空心的 出射激光，且空腔为圆柱形，半径为r 。请回答如下问题： 1．画出该光学系统的光路图。 2．求该光学系统中锥面镜顶点到球面镜球心的距离 x

第27届全国中学生物理竞赛决赛试题答案 一、(25分)填空题 4π2kR 1. (6分) 4π2k-Mo2 3.1- (6分) 4.7.3×10ms,2.8×103ms,8.4×103V(9分) h p2元 E=p'c2+m2y Ex=eV=E-m.c2 二、(20分) 1.令m表示物块的质量，物块在斜面上滑动的加速度 a=mgsin-Hmg cos0 =g(sin-u cos), (1) 物块滑到斜面底端的速度 2ah vo=sine =V2gh(1-4cot6)=4.0m/s (2) 以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小 6=V8+产2=5.0ms。 (3) 运动方向与传输带边缘的夹角α满足 (4) 物块在传输带上作减速运动，其加速大小为 d=m8=4,g。 (5) m 当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离 =监.8 (6) -2a248 物块不超过传输带的边缘对应的最小摩擦系数山，应满足

第 27 届全国中学生物理竞赛决赛试题答案 一、（25 分）填空题 1． 2 2 2 4π 4π kR k M  （6 分） 2． fV V u  ， fV V u  （4 分） 3． 1 1 0 0 1 Mg T p A          （6 分） 4． 6 1 7.3 10 m s   ， 8 1 2.8 10 m s   ， 5 8.4 10 V  （9 分） h p   2 2 2 E p c m y   e 2 E eV E m c k e    二、（20 分） 1．令m 表示物块的质量，物块在斜面上滑动的加速度   1 1 sin cos sin cos mg mg a g m           ， （1） 物块滑到斜面底端的速度 0 1   2 2 1 cot 4.0m/s sin ah v gh        （2） 以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小 2 2 v v V 0 0     5.0m/s 。 （3） 运动方向与传输带边缘的夹角 满足 4 tan 3   。 （4） 物块在传输带上作减速运动，其加速大小为 2 2 mg a g m      。 （5） 当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离 2 2 0 0 1 2 2 v v s a g       ， （6） 物块不超过传输带的边缘对应的最小摩擦系数2 应满足

s'sinasina=d (7) 248 因此可得 sina =0.5。 (8) 2gd 2.物块对传输带的摩擦力大小 F=h,6=m, (9) 428 方向与的方向相同。从地面参照系来看，传送带速度为V,单位时间内物块对传输带所 做的功 W=-FV cosa, (10) 因此负载所引起的附加功率 △P=-W=7l/2=640W。 (11) 考虑到无负载时电机的输出功率 B=1E-I6R=360W。 (12) 有负载时电机的输出功率为 P=P+△P=1000W。 (13) 设有负载时的工作电流为I,则 P=IE-12R, (14) 解之得 1=10A。 (15) 评分标准：(2)式2分，(3)、(4)式共2分，(6)式2分，(7)式3分，(8)式1分， (9)式4分，(10)式2分，(13)式2分，(15)式2分。 三、(20分) 设轻杆的杆长为2，当杆与水平线的夹角为0时，球1和球2的速度分别为y和y2,杆转 动的角速度为。。因机械能守恒，有 0=mglsine-2mglsine+(2m)vi+mv2 (1) 2 又因 =2=10, (2) 可由(1)、(2)解得 0= 2g sin0 (3) 3

2 0 2 sin sin 2 v s d g        （7） 因此可得 2 0 2 sin 0.5 2 v gd      。 （8） 2．物块对传输带的摩擦力大小 2 0 0 2 g F v v g         ， （9） 方向与 0 v 的方向相同。从地面参照系来看，传送带速度为V ，单位时间内物块对传输带所 做的功 W FV   cos ， （10） 因此负载所引起的附加功率 2      P W V 640W 。 （11） 考虑到无负载时电机的输出功率 2 P I E I R 0 0 0    360W 。 （12） 有负载时电机的输出功率为 0 P P P    1000W 。 （13） 设有负载时的工作电流为 I ，则 2 P IE I R   ， （14） 解之得 I  10A 。 （15） 评分标准：（2）式 2 分，（3）、（4）式共 2 分，（6）式 2 分，（7）式 3 分，（8）式 1 分， （9）式 4 分，（10）式 2 分，（13）式 2 分，（15）式 2 分。 三、（20 分） 设轻杆的杆长为2l ，当杆与水平线的夹角为 时，球 1 和球 2 的速度分别为 1 v 和 2 v ，杆转 动的角速度为 。因机械能守恒，有   2 2 1 2 1 1 0 sin 2 sin 2 2 2     mgl mgl m v mv   。 （1） 又因 1 2 v v l    ， （2） 可由（1）、（2）解得 2 sin 3 g l    （3）