第十五章曲幄积分·斯底尔吉斯积分 I3 沿曲或道路(AB)的(第二型)曲罐积分,用記号表为 ∫f(M)b=Jf(x,y (2) (AB) CA BY 同样,将值∫(M)不乘上△x;而乘上△y;并作和 ∑f(M:)Ay;=∑f(东,7) 我們得到它的极限,即f(M)dy的(第二型)曲秘积分: *=[f(M)ay=「f(x,y)dy (2) A (B) 如沿曲錢(AB)定义有两个图数P(M)=P(x,y),Q(M)=g(x,g), 且积分 「P(a)x=P(m,)d,q(Mm)y=「q(x)y (A) AB〕 〔AB (AB) 都存在,則它們的和就称为(“一般形状的”)曲糙积分,并合 P(a,y)dxc+Q(a, y)dy= P(a, g)dic+ Q(a, y)dy. (B) 用这种記号,当点沿曲秘(AB)位移时力場的功的公式(1)現在可 以写为形状 A=X(a, g)dx+Y(a, y)dy (3) KAB) 現在我們来比較第二型曲秘积分(2)或(2*)]的定义与第-型曲 機积分的定义[畚看517(1)]。除显然的类似地方外这两个定义有实 质上的不同:在第一型积分的情形下,当形成积分和时,函数值∫(M) 乘以曲段A1A4+1的长a;=△s,在第二型积分的情形下,这个值 f(M)乘以这一段在軸(或撇)上的射影△r(或△y:)。 我們巳看到过,积分进行所沿道路(AB)的方向在第一型积分的 博士家园论坛刘伟
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14 微积分学教程 情形下不起作用,因为弧A34《-1的长σ与这一方向元关。然而第二 型积分的情形就不同了:所濾弧段在任一軸上的射影与弧的方向大有 关系,方向变为反向时,射影也变号。因此,对第二型积分有 f(a, y)dx=- f(, y)dx, (B4) (4B) 同样, f(r, y)dy=- f(a, y)dys EAH) 且右端积分的存航能推出左端积分的存在,反过来也是如此。 用类似的方法可以引导散布在間曲彩(AB)上的第二型曲积 分的概念。即,如在这一曲殺上铪出一酾数f(M)=f(x,孙,#),則与上 面一样,作和 f(s;,m;,l)△ 并当=maxA4+*趋近于睿时考蔡它的极限。如这一极限存在则 它称为J(M)dax的(第二型)曲錢积分,并用記号表为 f(M B (B) 同样地定义有下列形状的积分: r(M)dly=s f(, y, a)dy, (x 「(M)=j(,) (AB) (AB) 最后,考(“一般形状”)积分 Pdx++rdz Pdx+ Qdyt Rdz [: B) (4R) 这里同样,积分的方向改变就使积分的符号也收变。 再釜看第11頁正注 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲积分·斯底尔吉斯积分 最后注怠,通常定积分釣最簡箪性质[290,291]容易移到所考察的 曲秘积分上来,关于这一点这里不討論了。 522第二型曲积分的存在与計算設已知曲(K)=(AB)的 参数方程为 (t) 且数及ψ連液,又当参数t自变到β时曲袋以自A到B的方向 描动。我們也假定函数∫〈x,)溍曲幾(AB)連續。 如談到积分(2)时,我們还更假定导数φ(t存在且連额。 在这些假定下曲簇积分(2)存在,且有等式 f(a, y)dx=(R)If(o((),y(t))o'(t)dt. (5) 因此,在計算曲积分(2)时,应在积分号下的函数中将变数及y用 它們的参数表示式(4)代替,而因子dx应当把变数a当作参数的函数 而用这函数的微分来代替。最后一积分中,积分上下限序的安排在 这里要看曲幾方向的选擇。 F面我們来证明。在曲錢⊥取由参数值i=0,1,2,…,n)所决定 的点A,在弧AA4+1上选取一点M4;它的参数值是v;(显然x4在与 t,+1之閭)。那末积分和 2-1 ∑f(5,v;) 当我們考虑到 △a=9(t p(t)dt 时,它就可改写为 t ∑f(9(x),ψx) (dt 博士家园论坛刘伟
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16 徹积分学棵 的样子。另一方面,(5)中右端的积分*可表作和的形状: 7→1 -」().0()9)=x」f(9(),()厘(1)a 于是 ∑|[f(p(x),(r)-f(9(t),ψ(t))J9(t)d. 在耠定一任意的6>0后,現在假定所有的△井常小,使在区 [ta,b*1]上速襪函数f((4),ψt))的振动≤8。因为連辕面数g(4) 是有界的|φ(t)≤,所以我們就会有 σ-ll<eLlB 因此,当量λ= marAt;}趋近于0时**, , 这同时氈证明了曲幾积分的存在,又证明了所要求的等式。 容易看到,这一推理不加什么本质上的变动就可放到函数g(4)仅 有分段連續的导数情形上去。 对于积分(2“),当导数ψ()速續(或仅仅分段速额)时,用同样的 方法可得知它的存在,且可证明公式 ∫(y)y=()(9(t,y()() (5*) (B) 最后,如畝到一般形状的积分 P(x, y)dc-+our, y)d 而共中P及Q为連籟数时,則对曲钱(AB)我們就加以一条件, 因为积分号下的西数速额,积分显然存在。 κ这就相当于各小段弧的疸徑中最人者趋近亍0成(在#開曲鍰的情况卜)最大的弦超 近于0[316]。 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲機积分·斯底尔吉斯积分 就是两数(4)有連额或至少有分段連續的导數。在这一假定下公 式 Pda+Qd P(9(t),v(t))φ(t)+Q(9(t),ψ(t)ψ(t]d(6) 就成立 曲积分的定义与这里所示的化它为普通定积分的方法也可直接 推广到曲幾(4)自身相交的情形,只要它上面的方向与前面一样由参数 t单調地自α变到β而确定。 末了我們来說明曲秘积分計算起来特別簡单的若干情形。戬积分 2)取在一曲幾上,这曲秘是用显方程 y=y (r) 給凸的,且当x自a变到b时点自A位移到B。那末,对曲镘除連外 不加任何假定,就有 f(a,y)dx=(R)f(a, y(r))dx. (7) AB) 同样,如果积分(2*)散布在一連續曲糨上,这曲能仍由显方程耠出,但 是另一种样子 y (其中y由c变到d),則 f(a,y)dy=(R)f(a(),y) 7) (AB) 最后,如果积分(2)散布在平行于轴的一直幾段上,則它等于0 (因为在这种情形下,所有的△a;因此同时所有的和σ都等于0)。同 样,积分(2)取在玊行于x軸的一疸段上时也等于客。 博士家园论坛刘伟
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