18 微积分学教 如积分道路(K)可分成有限段彼此相接的曲幾,沿每一曲秘各个 曲錢积分存在且可以用上面所示公式之一来計算,則很容易证明,沿整 个曲彩(K)的积分存在,且等于沿它各部分积分的和。 528閉路的情形平面k定向整个上面所的包括着点A与B 重合的情形,即閉路的情形。我們来更詳翱地討論这→情形。 首先我們注意,积分的存在与否及它的大小与在路幾上取哪一点 作为积分道路的起点(同时也作为修点)无关 享实上,如A及A是閉合路彩上任意两点,則自A点出发又回到 A点的积分(以图5中箭头所示的方向)相当于沿弧段AM4'及AYA 依大积分: 〔AMA"NA)AMA1)(A'NA) 但在順倒右端的两項后,我們得到: (AMANA (ANA) (AMA') (A'NAM4' 这就是所要证明的。 我們所老察的情况的特点是:指定了起点及(与它相重的)点,拜 不能确定曲幾(K)描动的方向。在 每一情况下都要特别說明是取的哪 个方向。在談到空間曲幾时也必 須同样說明。而在面閉路(K)的 情况下迸常用别的方法来說明。 在所給平面的两可能轉动方向 “反时針向”及“順时針向” 中,取一个算作正的:这样就构成了确定的平面的定向。如反时針向算 作正的,則邳面的定向称作右手的,在另一种情形下,就称作左手的。 在平面的右手定向的情形T,我們就合反时針向轉动作为簡单閉 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲幾积分·期底尔吉斯积分 1 9 路的正向的定义(图6,a)。实在說来,这一定义仅对近似于圆周的閉 路扌非常清楚。故更正确地我們应該这样規定:当一人沿(簡单)閉路 循一方向环行时,如由閉路所的区域靠近观蔡者的部分总是在观察 者的左手边时,这一方向就称为曲钱的正向(图6,a)。在平面的左于 定向的情形下,順时針向环行閉路就是正的,所以区域总是在观察者 的右手边(图6,6)。 我們注意,平面中坐标軸本身的安排恒与孕面的定向有联系:在 反时針句》顺睛針向 图6 下面的右手定向时,将x軸按反时針向轉90°就得到y軸;而在左手 定向时,就要按順时針向轉〔参看图7,a,6)。在第一种情况下,坐标系 本身也称为右手的,而在第二种情况下, 称为左手的。 在作这些說明后,今后我們永远这 样規定好:如积分道路(K)是一筒单閉 曲鍵,則当記号 Pda+Qdy a∫ 沒有指明閉路环行的方向时,我們恒认 为它是沿正向所取的积分。当然,这一旎定井沒有限制我們必要时考 祭沿負向取积分,不过我們用 博士家园论坛刘伟
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微积分学教程 Pda+-Qdy 来表示它罢了。 例1)假如(K)是抛物機y=自横坐标x=0的点到横坐栎x=2的东的一段, 就求积分【=「(x2-y2)dr 解因为积分的曲是用显方程出的,故可应用公式(7);得 r=1( Ddt 2)求积分J=(x2-B2)cy,其中(K)代表上题中的曲键, 解达里应該利用公式(7“)。注意由曲钱方程知a2=且"的变动范国是0到·我 围有 J={(y-2d=s0 3)計算取在联精点饿(0,0)与A(1,1)的一道路 D)上的曲秘积分 H=|2cy d+tidy 安的值,如道路(L)是:(a)直辘=x,()抛物筏=x2 图8 (B)抛物x=y2,()立方抛物粳v=x3(图8)。 解(a)因为如=d",故2rgdx+r4d=3r2dr=1,()dy=2rtlr, I=4r3dx=1;(B)dz=2yd,n=15n4d=1,(r)d=3x2dx,H=}5:dx=1 4)对这些同样积分踣,計箅曲糇积分 G=ry dx +(y-x)dy 答(&) (6) (r) 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲糖积分·斯底尔吉斯积分 21 5)求曲栽积分 -驴 如取联秸息O(0,0)及A(1,1)的下列各曲粳之一《参看图3)作为积分道路:(a)直镘段 OA(3=x);(6)由z軸(y=0)的一段OP及直機x=1的一段PA所粗成的折OPA(B) 由軸(=0)的一段O及直蠅=1的一段φA所組成的折癃OQA 解(a)因g=x及山y=d,故 I=(r+2)dn、 (6)在这一惰况下很自然地分积分道路为两段 r I1+I2 (OP4】 toP) 沿OP我們有:p=0及d=0,所以 沿PA有:x=1及d=0,放 I2=12ydy=1 因此,最后I=8 (B)与就类似,得(因为岩栽段OQ的积分等于) (e-1)dr 6)同祥求积分 =(yi+2xy)dx+(2ry+. a)dy 簪在所有情形下J= 附注者可能已注意到例3),6)的果与4)5)的秸果同的差异。在3)与6)中所 考察积分的大小似乎与联粘起点及魅点的道路无关。相反,在例4)与5)中我們遇到的积 分共值与恕点及点用什么样的辐联棘关。以后[§3]我們卖特别来酎論这一說 明它的重买性。 博士家园论坛刘伟
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微积分学教程 7)計算积分 (x2+2.ry)dg C 共中(C)表示循反时针向的上椭国a+=1 解利用橢国的参数表示式:x= a cos t,y= h sin t,这里t由0变到丌。将℃,對用t 的表示式代人井用 bcos tdt来代dly,得[由公式(5*)] I=I(c2 cos2 t+2ab cos t sin t)b cos t dt= t dt+2.sb2 t sin t dt 4 8)計算积分 K=yad 共中()是一圓周,匣为1而中心在(a)坐标原点或(6)点(1,1)。 解(a)自銎数方程x=c8t=smt出发,其中扌由0变到2π,由公式(6)我們有 (sin3tfcosat)dt=0 (6)同样,升叁数裘示式 t-1=cost, y-1=sin t 时,我們得 K ++gini+cos3)dt 9)求积分 de a ix2+2Bxy+Cy2 (A,C E AC-B220) 共中(K)是周x2+y2=r2。 提示比照380,14)。 10)算积分 博士家园论坛刘伟
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