微积分学敦程 10)武求悬筵糙=ah在点x=0及x当a問一段的质最,散曲碰在每点的密度 与該点的纵坐标戒反比。 提示P=,d=at=adr,m=k 与蹇辙地分布在曲辘上的质量相关的萁它問題,很自然地也可变成上面所考类型的 曲秘积分。 11)在第十章中[3401我們討論过邳面曲耧对坐标軸的轿矩的計算,以及它的重心坐 标的計算,那时假定“穢性密度”p=1,馩者不难推疒那韭所褥的公式到质量速分布的一 般惰形。如引用曲积分氍念时,則秸果可写作下面形状 Mu= P d’的s4 12)我們还說明第一型曲镟积分的一个应用一应用到有质最的曲藉对质点引力的 問题 大家都知道,按牛頓定律,质量m的 质点M0对质量m的质点M的吸引力,方 向是从Mo到M,大小等于 共其中 r是距掷M0M,而k是与测量的基本单位 选擇有关的一系数;井且为了单起見,我 們常认为它等予 点M被一质点系M1,Mz,…,Mn 图2 所吸引,它們的质量是m1,7,…,ma,則 将各个点对M的吸引力几何地相加,就得到合力。同时,合力在坐标軸上的射影等于各个 力射影的代数和。 如以X及Y表合力在坐标軸上的射影,且以表向量了;=M0M;与地轴的夹角, 則显然 博士家园论坛·刘伟
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第十五章曲栊积分·斯底尔吉斯积分 (与寻常一样,共中v尧向量r的长)。 現在吸引质点的质量遠辕地分布在一曲(K)上。为萋我出吸引力,我們分曲为許 多小段,将每一小段的质量集中在它上面任意攻定的一点M处后,我們求出合力在坐标 轴上射影的近似: x÷m2(Mn)0a,y: M1) sin y 因为这时各个小段共质量近以地等于(M)《,如合所有的σ;趟近于需,則取极限后就得 到谁确的等式,且这时和就被积分所代替了: X=mo e(m) coeds, Y=mo[e ssineas 这里"表向量矿=MM的长,而日表它与x帕的夹角 弑求一均勻芈国周(=1)对位于箕中心的一单位质量的吸引力。 照将坐标原点放在心,通过华面端底 作横軸(图3) 由对称性,x=0新以只耍求出射影y 好了。由公式(8) gin bda 但在現在的情况下了=R(牛国的华征)且 ds=Rd.故 图3 Y=R win a de 14)一单位质量的点(m0=1)与一无势的均匀辘(P=1的距离为五,求直糢对达 点的引力。 解将所求的引力当作所這直键上一有限裁段所生引力的溉限,假设这一機段的婚 点在两头变到无甥远去。如将竄赣本身取作x轴,而髫軸遁过已知点,則得(考虑在所铪的 情况下8-dx) (x2+№2) +2 同样,X=0(但由对称性这很明显)。 15)試求星彩赣z=ac。3t,=ain3t在第一象限内的富对位于坐标原点的单位质 1108e6
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10 微积分学數程 量所生钓引力,設曲赖在每一点的密度等于这一点到她标原点距高的立方。 Xy=32 §2第二型曲錢积分 520力場中功的問題我們轉而奇論在实际上更为重要的第二 型曲幾积分的概念,这里还是从一个力学問题出发。 歆住ay平面(或平面的一硝定部分)的任一点M如放一单位质 量,就有一确定的力F作用于它,这个力的大小与方向只与点M的位 置有关;如放在M的质点其质量m不等于一,則作用于它的力就等于 m)。在这种情形下本面(或所考察的一部分)称作(平面)力場,而 作用于单位质量的力F称作場的引力。耠出力F的大小与方向相当 于耠出它在坐标輛上的射影x,Y,显然射影是虑M的坐标xy的数 x=X(, g),Y=Y(a, y). 現在假定,位于場中的质点M(x,g)(有单位质量者)运动,且以 确定的方向描出某一連额曲彩(K)。我們的間題是在这一运动中場的 力所做的功A如何計算。 假如作用于志的力保持一常稙F且保持一個定方向,而虑的位移 本身以直秘进行,則大家都知道,功A可表为位移与力在位移方向上 射影的乘积: A=FI cos 6 其中B是力F与位移方向問的灭角。 在井谊幾运动以及井當数力的情况下,功要借某一极限过程来确 定[比照344]。例如,我們可以这样来理解。在点的軌道曲幾內,内 接一多角形折幾,弁确定当沿这一折耪运动时場的力所做的功。这时 不計力在折幾的同一段上的变化,所以問題就变成上逃的直幾运动以 及常数力的最簡单情形了。所得的式子当作所求功A的近似值。它的 雅值,总是这样,可以用一极限过程即当折耧的所有各段趋近于零 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲粳积分·斯底尔吉斯积分 时*就能得到。 根据所逃的計划,現在来进行功A的計算。以A表軌道(K)的起 点,B表点(这里当然,哪一点取作起点,哪一点取作释点,不能随 便)。用自A到B方向排好的点 1,yn-nt 来分曲幾AB为許多部分。为使記号对称,将A,B写作A0,An,而它們 的坐标分别表为是,y及cn,yn,最后,作曲幾(K)的内接折糙,以上 泷各点为接辍頂点。 为了要确定通过小段AA4+1时的功A4,我們毅这时力F大小与 方向都保持不变,例如与点A 处的情形相同。如以F;表力 在这一点的大小,日;表小段的 方向A;4+1与力的方向間的 夹角,則元素功A《将(近似地) 等于 A;F;A;A+1·co6 *ALiH 引进x軸与力F;夹角 α;以及x軸与小段A屮間 图 夹角B;则(图4)日=a;-B在A的表示式中合 coB日= cos a: cos+8 sin C sin 它航可改写作形状 F;cosa·AAt+1cosR;+F;sin∝;·AA;sin 但是不难看出,Fcoa及 p sin a4是力在坐标軸上的射影, 所以 Ficosa=x,=X(s, vi), F, sin a; Y;=Y(ass vi) 同样,式子A、A3+cs及A;A4 r sin B是殺段AA+在坐标軸上的射 在閉曲親的情形时更正确的說法是:当所钉的部分弧的吖徑趋近予睿射[杂看318]。 博士家园论坛刘伟
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微积分学教 影,故它們分別等于 x《+1-x y=△ 最后,得到元素功A3的表示式 ÷x(x3g4)Ax;+Y(x,y;)△y 将这些元素功相加,得所求場力的全部功的近似值: X(x,y)△x+Y(x,y)△ 如已說过的,变到极限,得功的進确值: A=i>x(x,v;)△x;+Y(x,y)△= 一1 lim∑x(x,v;)△+lin∑Y(z,y)△y (1) 51第二型曲貓积分的定义現在我們脫离开力学中功的間題, 而詳尽地硏究所得极限的构遺。首先来討論第一个极限。 散沿一連敘曲幾(AB)已知某一数f(M)=(x,y)”.用点A分 曲幾为許多部分后,在曲饑段AA+1上取一任意点M(5;m),并計 算出函数在这点的值f(M)=(5,7);再作一和 σ=∑f(M1)△4=∑了(5,m)△ [在520目所考察的問題中,我們是取的陌数X在弧AA+的起点 处的值但这不是非如此不可的。1 如当=maxA44+1*趋近于零时,这一和有一有限极限,既与 曲籍和分的方法无关,又与点M4的选择无关,則这一极限称为f(M)dx 看第2頁底注 畚看第11頁底注。 博士家园论坛刘伟
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