第于王章曲积分·斯底尔吉斯积分 m=p(M)ds (2) 特別注意,耠道路(K)所加的方向在所介貂的定义中不起任何作 用。例如若这一曲幾不是閉的,且以(AB)及(BA)作为不同方向的曲 镘,則 ∫f(M=j(Mn)as ▲B) (BA) 类似地,我們可以引导散布在空惆曲(K)上的积分概念 f(M)d8=f(,弘、z) 由于沒有什么新的原則性东西,沒有必要在这里詳談。 518剎化为普懣定积分假定在曲能(K)上任意取定一方向(两 个可能方向之一),曲秘上点M的位置可由从一点A量起的弧长8=AM 来确定。那末曲耧(K)可为参数方程的形状: z=a(a),y=y(8)(0≤8≤S), 而在曲秘上耠出的菌数f(x,y)便化成变量8的复合函数f(x(8),y(8) 对应于在AB弧上所选取的分点A,其弧的值如表为 =0,1,…,n),則显然a;=84+1-8=△8以8;表定点M的8值(而 且显然,6≤3≤8+),可以看到曲彩积分的积分和 ∑f(M4)o4=∑f(x(2),(3)8 同时也是普通定积分的积分和,所以立刻有: f(M)d8=(R)f(a(a),y(a))ds 且这两积分中只要有一个存在,另一个就也存在。 当然,这种直接由第一型曲窥积分化为普通的积分会降低了它 某一直角坐标东将哀作茲础。函数∫仅在曲模(K)的点处有定义 符号(E)裳示,积分达且是了解为道常是定义下的积分 博士家园论坛刘伟
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4 微积分學彀 的理論价值,但在方法上的价值它仍全部保存着。 我們以后将假定数∫(M)是連的*,显然在这种情形下积分是 存在的。 合設一曲(K)由任意的参数方程 =g(!),y=v(t)(≤t≤T) 所給H,共中西数9及ψ与它們的导数φ及ψ都連辕;此外,假定曲 能上无重点。那么曲幾就是可求长的,且若弧8=AM=8(t)的增加对 应于参数t的增加,則 8=√φ(t)]2+[ψ(t] [320,321]。在(3)的右端的积分中换变数,立刻得到 r(Mn)ag=jf(g(1,(4)y()P+w()Fl.(4) 五 因此,在計算第一型曲积分时,在积分号下的数中,变量及 y应該用坐标的参数表示式来代替,至于因子ds,应該把弧当作参数的 函数而用这函数的微分来代替。射别指出,定积分(4)的下限必須小于 上限。 在曲以显方程 y=y(x)(a≤x≤b) 轮出时,公式(4)的形状是: f(M)da=f(a, y())v1+Ly()dx. (5) 这一关系式也可有另一形式。在面数y(x)与它的导数y/(x)連續 的假定下,曲镘(K)在每一点处都有一不乎行于y軸的确定切秘。以 我們是指在曲耧(K)上的点处瀍襪,也就是指沿着曲辘遠额。用“E-6"的說法,这就 是:对E>0能找到这样的8>0,使当MM<3肝就有|∫(M)∫(M)<E(M及M是曲 颧上的点)。在这一假定下,复合国数f(x(8),(8)),由于x(8)及v(8)是連犢的鞭故,也 样是8的遵额面数。 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲糙积分·斯底尔吉斯积分 5 a表切能与軸的夹角,我們得到 tg a=y'(), Icosa=Vi+Ly(aF 故 f(M)ds=f(a, y(a)dx. CoSa (r) 如用S表示整个曲幾(AB)的长,因为显然 ds=s Ko) 所以特別地有 aI 附注公式(7)是糨形式的变換得来的。如果我們定义曲簃弧长 为外切(不是内接)折餐周长的极限,則这一定义一—在曲幾以显式耠 出时——立即可得出公式(7)。談者不妨自己来证实这一点。 510例)若()是精周需+=2在第一象限内的分,叶算积分1二m 解(a)我們有 1+y a2 所以由公式(5), 1-(a2-h2)x2 a=(a2-b2)rzrdz 进行积分,得: a nb (2+(b+02 3 (+b 应注鳶,上面儆的計算事雯上还要育所說明行,丙为当v=时切秘刹率变为无穷 博士家园论坛刘伟
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6 微积分学数程 大。下一解法就渡有这一缺点 (6)如变到国的参数表示x= a cos t,y= b sin t,故 TI=-a sin t, vt=b cost, V=12+w=va sin2t+ b2 cost. 則可按公式(4)来逑行計算: I=lacost b sin t vn2 sin2 t+b2cosi fat a abfsin2t/na. 1-c0924+h2.I+cos2at 2 0 这里今c02↑=x,則sin2td=-1le,且 r=吃√2+B+22 2 b 2 2『a2+B,b2.-a2 ab (a-+(b+bx 4·=四·3[z b 2)計算积分I=}s,其中(K)是抛物钱2=2Px上坐标原点到点(ro,)的 LK) 段 解由曲的方程,我有B=P,所以 yds=w√!+y2d=√v+yydr=√r+2pxdr, I=YA2+2p.c d t3p (p2+ 3)訃算积分=1(x2+y2)ds,其中(A联精点(,a)攻(b,b的直镜段(b>4)。 提示直機方程:y=x.德2(b3-a3). 4)計算积分K={e-rds,共中(C)是曲粳 r=log(l++2),y=2 arct t-t+3 在点=小及t=1閭的一段。 提示√2!2+y2=, 博士家园论坛刘伟
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第士五章曲挑积分·斯底尔吉斯积分 2aro tgt -t+3 T2 1 dt log 2-H 5)常見曲機中一大部分(橢闆、双曲秘、正弦曲镘,双糨餞箅)其弧长不能丧作初等 数,因为它們的d不能积分为有限型。然而对这种曲镜,积分f(x,y)d往往算出米 是韧婷面数[例如,参看例1)],因为与囚子f(x,y)联在一起时,积分号下微分式的整个 构遺改变了。讀者不妨做一些积分f(x,y)da的例题,积分取在正弦曲餞矿=sinz或双 曲秘xy=1上但又可表作初等函数者。 6)計算积分I=xyd,其中(C)是曲機xt,y=√8,z=)t2在点t=0 及t=1的弧 解d 1+t)d: 2:量 (I+t)dt 16√2 143 7)当曲A(K)用极坐标方程r=r(6)(61≤≤0)轮出时,試求計算积分 I=f(e,y) 的一公式 Ⅰ=「∫(rcoa,rsin)√r2+rzd 8)若(K)是双曲绵耧78=1自日√3到日=2√2的一段,試算积分 ds 3 9)試求曲=1gx在有横坐标x1及x的两点这一段的质量,股曲耧在每点处 的(篯性)密度等于該点横坐标的平方。 解由公式(2),因为在我們的情形下P=x2,故有; m=1x2da,但ds=√I+理dr,所以 1+x·xdr a1)量 博士家园论坛刘伟
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