3.晶格的周期性势场t2Ze?V?H.+v()-Z(令Z=1)2m4 元8。-R,7=h?et?1V? +V()V +ve(3)-Z4元8。2m2m-R,ReV()=v.()-Z-单电子势4元6。-R,R不管单电子势具体形式如何，假设它具有与晶格相同的平移对称性；V( + R,)= V()Rn=niai +n2a2+n3a3
3.晶格的周期性势场 不管单电子势具体形式如何，假设它具有与晶格相同的平 移对称性； (令Z=1) 单电子势
第一节布洛赫定理h?V2 +V() [0()= 80(元)单电子薛定方程2m其中单电子势V(r)是周期性势场,V(r)=V(r+Rn)布洛赫证明，上述方程的本征函数解具有如下性质p(+ R,)=eix·Rr p()上式表明当平移晶格矢量R,时，本征波函数只变化一个相位e沃·R，其中k为电子波矢,表征电子状态。因子上述波函数称为布洛赫(Bloch)波函数，用布洛赫波函数描述的电子称为布洛赫电子
单电子薛定谔方程 其中单电子势V(r)是周期性势场, V (r) = V(r+Rn ) 布洛赫证明，上述方程的本征函数解具有如下性质 上式表明当平移晶格矢量Rn时，本征波函数只变化一个相位 因子 其中k为电子波矢,表征电子状态。 上述波函数称为布洛赫(Bloch)波函数，用布洛赫波函数描 述的电子称为布洛赫电子。 第一节 布洛赫定理
p( + R, )=eix- Rn p()布洛赫定理第二种描述方法布洛赫波函数可以写成如下形式P()=eik-u()u (μ+R,)=u()证明Pe(+ R,)=eK(+R. (μ+ R,)=ekTeik.R us(+Rn)eik-R eikur()=ekR P (F)=e布洛赫波函数是按照晶格周期性调制的平面波
布洛赫定理第二种描述方法 布洛赫波函数可以写成如下形式 证明 布洛赫波函数是按照晶格周期性调制的平面波
布洛赫定理的证明势场的周期性反映了晶格的平移对称性，即晶格平移任意晶格矢量时，势场保持不变；Rn=niai+nzaz+n3a3引入描述平移对称操作的平移算符，T(分量Ti,T2,T3)对于任意晶格矢量Rn=niai+n2a2+n3a3(R,)=" (a)" (a)" (a)对应平移算符为平移算符T性质Tf(r)= f(r+a), α=1,2,3TV(r)=V(r+a~)=V()
布洛赫定理的证明 势场的周期性反映了晶格的平移对称性，即晶格平移任意 晶格矢量时，势场保持不变； 引入描述平移对称操作的平移算符，T(分量T1 , T2 , T3 ) 对于任意晶格矢量 对应平移算符为 平移算符Tα性质
各平移算符之间相互对易T,f() =If(+a) = f(+a+aT,af() =(+a) =f(+a+ap)→()=() =,=0平移算符和单电子哈密顿量对易2V?+v(+a) f(μ+aa)1.Hf(μ)T+aa2m122+V(a) [(+a)=f(+aa) =Hf()2m→=。→[,]=0
各平移算符之间相互对易 平移算符和单电子哈密顿量对易