首路与回路蓝路与回路的判定首路与回路的判定E妇r黄路与回路 哥尼斯堡七桥问题与Eur回路有向图中的欧拉回路 哈密心 000●000C0 000 0000●00000 000g 简单图中的弦的定义 设C是简单图G中的一条初级回路。回路C中结点数大于3。 ●如果回路C中结点v:和v;在C中并不相邻，而边(，v)∈E(G), 称(，v)是C的一条弦。 4 ·如果对于简单图G中的每个结点vk∈V(G),都有d(y)≥3，则G中必 含带弦的回路。 09G 刘肚利（上海变大CS实监室） 图论第二章：道路与回路 6/48
✗➫❺↔➫ ✗➫❺↔➫✛✞➼ ✗➫❺↔➫✛✞➼ Euler✗➫❺↔➫ ①❩❞✄Ô①➥❑❺Euler↔➫ ❦➉ã➙✛î✳↔➫ ▼➋î✗➫❺↔➫ ✹Üã H↔➫✛❆❫ ãØ✶✓Ù❾➆ ④üã➙✛✉✛➼➶ ✗C➫④üãG➙✛➌❫Ð❄↔➫✧↔➫C➙✭✿ê➀✉3✧ ❳❏↔➫C➙✭✿viÚvj✸C➙➾Ø❷✙➜✌❃(vi , vj) ∈ E(G)➜ →(vi , vj)➫C✛➌❫✉✧ ❳❏é✉④üãG➙✛③❻✭✿vk ∈ V(G)➜Ñ❦d(vk) ≥ 3➜❑G➙✼ ➵➅✉✛↔➫✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶✓Ù➭✗➫❺↔➫ 6 / 48
道路与回路道路与回路的判定茵路与回路的判定Eu妇茵路与回路 哥尼桥堡七桥问题与Ea回路有向图中的欧拉回路哈密轻 0000●00C0 000 0000●00000 000g 简单图中的弦：定理证明 证明： Vs+l 刘肚利（上海变大CS实验室） 图论第二章：道路与回路 7148
✗➫❺↔➫ ✗➫❺↔➫✛✞➼ ✗➫❺↔➫✛✞➼ Euler✗➫❺↔➫ ①❩❞✄Ô①➥❑❺Euler↔➫ ❦➉ã➙✛î✳↔➫ ▼➋î✗➫❺↔➫ ✹Üã H↔➫✛❆❫ ãØ✶✓Ù❾➆ ④üã➙✛✉➭➼♥②➨ ②➨➭ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶✓Ù➭✗➫❺↔➫ 7 / 48
首路与回路道路与回路的判定首路与回济的判定Er首路与回路哥尼断提七桥问题与Eur回路有向图中的顿教回路 哈密 00000●000 000 0000●00000 000g 二分图与树 二分图：设G=(V,E)为无向图，如果V(G)可以划分成两个子集X和Y, 使得所有的边e=(u,v)∈E(G)满足u∈X,v∈Y,则称G为二分图。 如果二分图中存在回路，则此回路是由偶数条边构成的！ 刘肚利（上海变大CS实监室） 图论第二章：直路与回路 8/48
✗➫❺↔➫ ✗➫❺↔➫✛✞➼ ✗➫❺↔➫✛✞➼ Euler✗➫❺↔➫ ①❩❞✄Ô①➥❑❺Euler↔➫ ❦➉ã➙✛î✳↔➫ ▼➋î✗➫❺↔➫ ✹Üã H↔➫✛❆❫ ãØ✶✓Ù❾➆ ✓➞ã❺ä ✓➞ã➭✗G = (V, E)➃➹➉ã➜❳❏V(G)➀➧②➞↕ü❻❢✽XÚY➜ ➛✚↕❦✛❃e = (u, v) ∈ E(G)÷✈u ∈ X, v ∈ Y➜❑→G➃✓➞ã✧ ❳❏✓➞ã➙⑧✸↔➫➜❑❞↔➫➫❞óê❫❃✟↕✛➐ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶✓Ù➭✗➫❺↔➫ 8 / 48
道路与回路道路与回路的判定首路与回路的判定E妇r道路与回路哥尼桥坚七桥问题与E阳回路有向图中的欧数回路哈密转 000000●00 000 0000●00000 000g 连通图与连通支 定义2.1.3： ●设G是无向图，若G的任意两结点之间都存在道路，就称G是连通 图，否则称为非连通图。 。如果G是有向图，不考虑其边的方向，即视为无向图，若它是连通 的，则称G是连通图，若G的任意两结点之间都存在道路，就 称G是强连通图 。若G连通子图H不是G的任何连通子图的子图，则称H是G的极大 连通子图，或称连通支 G的每个连通支是它的导出子 4口404元4元1至0QC 刘肚利（上海交大-CS实验室） 图论第二章：道路与回路 9/48
✗➫❺↔➫ ✗➫❺↔➫✛✞➼ ✗➫❺↔➫✛✞➼ Euler✗➫❺↔➫ ①❩❞✄Ô①➥❑❺Euler↔➫ ❦➉ã➙✛î✳↔➫ ▼➋î✗➫❺↔➫ ✹Üã H↔➫✛❆❫ ãØ✶✓Ù❾➆ ëÏã❺ëÏ⑤ ➼➶2.1.3➭ ✗G➫➹➉ã➜❡G✛❄➾ü✭✿❷♠Ñ⑧✸✗➫➜Ò→G➫ëÏ ã➜➘❑→➃➎ëÏã✧ ❳❏G➫❦➉ã➜Ø⑧➘Ù❃✛➄➉➜❂➚➃➹➉ã➜❡➜➫ëÏ ✛➜❑→G➫ëÏã✧❡G✛❄➾ü✭✿❷♠Ñ⑧✸✗➫➜Ò →G➫rëÏã✧ ❡GëÏ❢ãHØ➫G✛❄ÛëÏ❢ã✛ý❢ã➜❑→H➫G✛✹➀ ëÏ❢ã➜➼→ëÏ⑤✧ G✛③❻ëÏ⑤Ñ➫➜✛✓Ñ❢ã✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶✓Ù➭✗➫❺↔➫ 9 / 48
道路与回路道路与回路的判定首路与回路的判定E妇r道路与回路哥尼斯坚七桥问题与Eu阳回路有向图中的欧数回路 哈密 000000●00 000 0000●00000 000g 连通图与连通支 或义2.1.3： ●设G是无向图，若G的任意两结点之间都长在道路，就称G是连通 图，否则称为非连通图。 ●如果G是有向图，不考虑其边的方向，即视为无向图，若它是连通 的，则称G是连通图。若G的任意两结点之间都长在道路，就 称G是强连通图。 。若G连通子图H不是G的任何连通子图的真子图，则称H是G的极大 连通子图，或称连通支 。G的每个连通支都是它的导出子图 ￥口94元4元年重0G 刘肚利（上海交大CS实验室） 图论第二章：道路与回路 9/48
✗➫❺↔➫ ✗➫❺↔➫✛✞➼ ✗➫❺↔➫✛✞➼ Euler✗➫❺↔➫ ①❩❞✄Ô①➥❑❺Euler↔➫ ❦➉ã➙✛î✳↔➫ ▼➋î✗➫❺↔➫ ✹Üã H↔➫✛❆❫ ãØ✶✓Ù❾➆ ëÏã❺ëÏ⑤ ➼➶2.1.3➭ ✗G➫➹➉ã➜❡G✛❄➾ü✭✿❷♠Ñ⑧✸✗➫➜Ò→G➫ëÏ ã➜➘❑→➃➎ëÏã✧ ❳❏G➫❦➉ã➜Ø⑧➘Ù❃✛➄➉➜❂➚➃➹➉ã➜❡➜➫ëÏ ✛➜❑→G➫ëÏã✧❡G✛❄➾ü✭✿❷♠Ñ⑧✸✗➫➜Ò →G➫rëÏã✧ ❡GëÏ❢ãHØ➫G✛❄ÛëÏ❢ã✛ý❢ã➜❑→H➫G✛✹➀ ëÏ❢ã➜➼→ëÏ⑤✧ G✛③❻ëÏ⑤Ñ➫➜✛✓Ñ❢ã✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶✓Ù➭✗➫❺↔➫ 9 / 48