道路与回路道路与回路的判定道路与回诸的判定Eu妇简路与回路哥尼斯堡七哥问题与Euar回路有向图岛的欧数回路 000000●00 000 0000●00000 0000 连通图与连通支 定义2.1.3： ●设G是无向图，若G的任意两结点之间都存在道路，就称G是连通 图，否则称为非连通图。 ●如果G是有向图，不考虑其边的方向，即视为无向图，若它是连通 的，则称G是连通图。若G的任意两结点之间都存在道路，就 称G是强连通图。 ●若G连通子图H不是G的任何连通子图的真子图，则称H是G的极大 连通子图，或称连通支。 。G的每个连通支都是它的导出子图 年口4元4元↑ 刘肚利（上海交大-CS实验室） 图第二章：道路与回路 9/48
✗➫❺↔➫ ✗➫❺↔➫✛✞➼ ✗➫❺↔➫✛✞➼ Euler✗➫❺↔➫ ①❩❞✄Ô①➥❑❺Euler↔➫ ❦➉ã➙✛î✳↔➫ ▼➋î✗➫❺↔➫ ✹Üã H↔➫✛❆❫ ãØ✶✓Ù❾➆ ëÏã❺ëÏ⑤ ➼➶2.1.3➭ ✗G➫➹➉ã➜❡G✛❄➾ü✭✿❷♠Ñ⑧✸✗➫➜Ò→G➫ëÏ ã➜➘❑→➃➎ëÏã✧ ❳❏G➫❦➉ã➜Ø⑧➘Ù❃✛➄➉➜❂➚➃➹➉ã➜❡➜➫ëÏ ✛➜❑→G➫ëÏã✧❡G✛❄➾ü✭✿❷♠Ñ⑧✸✗➫➜Ò →G➫rëÏã✧ ❡GëÏ❢ãHØ➫G✛❄ÛëÏ❢ã✛ý❢ã➜❑→H➫G✛✹➀ ëÏ❢ã➜➼→ëÏ⑤✧ G✛③❻ëÏ⑤Ñ➫➜✛✓Ñ❢ã✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶✓Ù➭✗➫❺↔➫ 9 / 48
首路与回路蓝路与回路的判定首路与回路的判定E妇r黄路与回路 哥尼斯堡七桥问题与Eur回路有向图中的领拉回路 哈密心 000000●00 000 0000●00000 000g 连通图与连通支 定义2.1.3： ●设G是无向图，若G的任意两结点之间都存在道路，就称G是连通 图，虑则称为非连通图。 ●如果G是有向图，不考虑其边的方向，即视为无向图，若它是连通 的，则称G是连通图。若G的任意两结点之间都存在道路，就 称G是强连通图。 ●若G连通子图H不是G的任何连通子图的真子图，则称H是G的极大 连通子图，或称连通支。 ·G的每个连通支都是它的导出子图。 重0Q0 刘肚利（上海交大-CS实验室） 图论第二具道路与回路 9/48
✗➫❺↔➫ ✗➫❺↔➫✛✞➼ ✗➫❺↔➫✛✞➼ Euler✗➫❺↔➫ ①❩❞✄Ô①➥❑❺Euler↔➫ ❦➉ã➙✛î✳↔➫ ▼➋î✗➫❺↔➫ ✹Üã H↔➫✛❆❫ ãØ✶✓Ù❾➆ ëÏã❺ëÏ⑤ ➼➶2.1.3➭ ✗G➫➹➉ã➜❡G✛❄➾ü✭✿❷♠Ñ⑧✸✗➫➜Ò→G➫ëÏ ã➜➘❑→➃➎ëÏã✧ ❳❏G➫❦➉ã➜Ø⑧➘Ù❃✛➄➉➜❂➚➃➹➉ã➜❡➜➫ëÏ ✛➜❑→G➫ëÏã✧❡G✛❄➾ü✭✿❷♠Ñ⑧✸✗➫➜Ò →G➫rëÏã✧ ❡GëÏ❢ãHØ➫G✛❄ÛëÏ❢ã✛ý❢ã➜❑→H➫G✛✹➀ ëÏ❢ã➜➼→ëÏ⑤✧ G✛③❻ëÏ⑤Ñ➫➜✛✓Ñ❢ã✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶✓Ù➭✗➫❺↔➫ 9 / 48
道路与回路道路与回瑞的判定首路与回济的判定 Euer道路与回路 哥尼斯堡七桥问题与Ear回路有向图中的欧数回路哈密转 0000000●0 000 0000●00000 000g 特殊的连通图：树 如果连通图中不含回路，而且任意两个结点间都只有惟一的一条初级道 路，则称该连通图为树。 树是边数最少的连通图！ 0Q0 刘肚利（上海变大CS实监室） 图论第二章：道济与回路 10/48
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道路与回路道路与回路的判定首路与回济的判定E妇r首路与回路 哥尼桥堡七桥问题与Ea回路有向图中的欧拉回路哈密轻 0000000C● 000 0000●00000 000g 连通图的一个充分条件 例2.1.6：设G是一个简单图。则当m>(n-1)(n-2)时，G是连通图。 证明：反证法，设G不是连通图，则G至少有两个连通 支：G1=(,E.G2=.E)设G)=1,(G)=, 则n三1十2 由于G是简单图，无重边无自环，所以 E(G1)≤n1-1,G-1 得g三+一1门≤行一1行一2 刘肚利（上海变大CS实监室） 图论第二章：道济与回路 11/48
✗➫❺↔➫ ✗➫❺↔➫✛✞➼ ✗➫❺↔➫✛✞➼ Euler✗➫❺↔➫ ①❩❞✄Ô①➥❑❺Euler↔➫ ❦➉ã➙✛î✳↔➫ ▼➋î✗➫❺↔➫ ✹Üã H↔➫✛❆❫ ãØ✶✓Ù❾➆ ëÏã✛➌❻➾➞❫❻ ⑦2.1.6➭✗G➫➌❻④üã✧❑✟m > 1 2 (n − 1)(n − 2)➒➜G➫ëÏã✧ ②➨➭❻②④➜✗GØ➫ëÏã➜❑G➊✟❦ü❻ëÏ ⑤➭G1 = (V1, E1),G2 = (V2, E2)✧✗V1(G1) = n1, V2(G2) = n2➜ ❑n = n1 + n2✧ ❞✉G➫④üã➜➹➢❃➹❣❶➜↕➧ E1(G1) ≤ 1 2 n1(n1 − 1)➜E2(G2) ≤ 1 2 n2(n2 − 1)➜ ✚m ≤ 1 2 n1(n1 − 1) + 1 2 n2(n2 − 1) ≤ 1 2 (n − 1)(n − 2)✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶✓Ù➭✗➫❺↔➫ 11 / 48
首路与回路蓝路与回路的判定首路与回路的判定E妇r黄路与回路 哥尼斯坚七哥问题与E阳回路有向图图的欧数回路哈密转 0000000C● 000 0000●00000 000g 连通图的一个充分条件 例2.1.6：设G是一个简单图。则当m>(n-1)n-2)时它G是连通图。 证明：反证法它设G不是连通图它则G至少有两个连通 支：G1=(W1,E1),G2=(V2,E2)。设V1(G1)=n1,V2(G2)=2它 则n=n1+n2。 由于G是简单图它无重边无自环它所以 E(G1)≤m1-1)它E2(G2)≤2-1)它 得三一1+一≤行一1行一2 刘肚利（上海变大CS实监室） 图第二章：道路与回路 11/48
✗➫❺↔➫ ✗➫❺↔➫✛✞➼ ✗➫❺↔➫✛✞➼ Euler✗➫❺↔➫ ①❩❞✄Ô①➥❑❺Euler↔➫ ❦➉ã➙✛î✳↔➫ ▼➋î✗➫❺↔➫ ✹Üã H↔➫✛❆❫ ãØ✶✓Ù❾➆ ëÏã✛➌❻➾➞❫❻ ⑦2.1.6➭✗G➫➌❻④üã✧❑✟m > 1 2 (n − 1)(n − 2)➒➜G➫ëÏã✧ ②➨➭❻②④➜✗GØ➫ëÏã➜❑G➊✟❦ü❻ëÏ ⑤➭G1 = (V1, E1),G2 = (V2, E2)✧✗V1(G1) = n1, V2(G2) = n2➜ ❑n = n1 + n2✧ ❞✉G➫④üã➜➹➢❃➹❣❶➜↕➧ E1(G1) ≤ 1 2 n1(n1 − 1)➜E2(G2) ≤ 1 2 n2(n2 − 1)➜ ✚m ≤ 1 2 n1(n1 − 1) + 1 2 n2(n2 − 1) ≤ 1 2 (n − 1)(n − 2)✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶✓Ù➭✗➫❺↔➫ 11 / 48