2.1两角差的余弦函数 2.2两角和与差的正弦、余弦函数 内容要求1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(重点).2.能利用两角差的余弦公 式导出两角差的正弦公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦公式,了解 它们的内在联系(重点).4.能运用上述公式进行简单恒等变换(难点) 课前预习 自主学习,积淀基础 知识点1两角和与差的余弦公式 Ca+B: cos(a+ B)=cos a cos B-sin a sin B.(3. 3) Ca-g: cos( a-B)=cos a cos B+sin a sin B.(3. 4) 【预习评价】 1.cos20°cos10°-sin20°sin10°=() V3 √3 B 答案B 2.cos75°= 答案 知识点2两角和与差的正弦公式 Setg: sin(a+ B)=sin a cos B+cos a sin B. (3. 5) Se-g: sin(a-B)=sin a cos B-cos a sin B.(3. 6) 【预习评价】 1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于() y3 v2 √3 答案A 2.已知sina==,0<a<-,则cosa= 答案47V 510 课堂互动 「题型剖析,互动探究
2．1 两角差的余弦函数 2．2 两角和与差的正弦、余弦函数 内容要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(重点).2.能利用两角差的余弦公 式导出两角差的正弦公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦公式，了解 它们的内在联系(重点).4.能运用上述公式进行简单恒等变换(难点)． 知识点 1 两角和与差的余弦公式 Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(3.3) Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(3.4) 【预习评价】 1．cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝( ) A．－ 3 2 B. 3 2 C．－ 1 2 D. 1 2 答案 B 2．cos 75°＝________. 答案 6－ 2 4 知识点 2 两角和与差的正弦公式 Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(3.5) Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(3.6) 【预习评价】 1．计算 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 答案 A 2．已知 sin α＝ 3 5 ，0＜α＜ π 2 ，则 cos α＝________，sin α＋ π 4 ＝________. 答案 4 5 7 2 10
题型一给角求值 【例1】求值:(1)sin15°+cos15°; (2)sin1l9°sinl81°-sin91°sin29 解(1)方法一sin15°+cos15° (45°-30°)+cos(45°-30 sin45°cos30°-cos45°sin30°+cos45°cos30°+sin45°·sin30° 方法二sin15°+cos15 in15°+ sin(15°+45° sIn (2)原式 (29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1°+90°)·sin29° =cos29°(-sin1°)-cos1°sin29° COS 29°sin1°) sin(29°+1°)=-sin30°=l 规律方法解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化,充分利用拆角、凑角的技巧转化为 和、差角的正弦、余弦公式的形式,同时注意活用、逆用公式,“大角”利用诱导公式化为 小角” 【训练1】求下列式子的值 (2)sin795 (3)cos43°cos77°+sin43°cos167 解(1)cos(-15°)=cos(30°-45 =cos45°cos30°+sin45°sin30° y2xy+￥x=6+2 (2)sin795°=sin(2×360°+75°)=sin75°=sin(45°+30° =sin45°cos30°+cos45°sin30°
题型一 给角求值 【例 1】 求值：(1)sin 15°＋cos 15°； (2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°. 解 (1)方法一 sin 15°＋cos 15° ＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 45°cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝ 2 2 × 3 2 － 2 2 × 1 2 ＋ 2 2 × 3 2 ＋ 2 2 × 1 2 ＝ 6 2 . 方法二 sin 15°＋cos 15° ＝ 2 2 2 ·sin 15°＋ 2 2 ·cos 15° ＝ 2sin(15°＋45°) ＝ 2sin 60°＝ 6 2 . (2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin 29°cos 1°＋cos 29°sin 1°) ＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－ 1 2 . 规律方法 解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为 和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为 “小角”． 【训练 1】 求下列式子的值： (1)cos(－15°)； (2)sin 795°； (3)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°. 解 (1)cos(－15°)＝cos(30°－45°) ＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝ 2 2 × 3 2 ＋ 2 2 × 1 2 ＝ 6＋ 2 4 . (2)sin 795°＝sin(2×360°＋75°)＝sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝ 2 2 × 3 2 ＋ 2 2 × 1 2
√6+VE 4 (3)∵cos167°=cos(90°+77°)=-sin77° ∴原式=cos43°cos77°-sin43°sin77° =cos(43°+77°)=cos120° 题型二给值求值 【例2】已知0B<,∠04s)3,64+B)}=5 求 sin(a+B)的值 3丌 解 ,∴-<-a<0 5 3丌3 又∵0<B< ++B<π, 4 13 sin(a+B)=-cos(o+a+ 4 4 4 12.35 规律方法在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、 拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角.具体做法是: (1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差 (2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角 【训练2】已知。<B<a 4·C0s(a-B12.s1n(a+5,求sin2a的 3丌 ∴0<a-B< 4’<a+B<3 ∴sin(a-)=1-cos2a-
＝ 6＋ 2 4 . (3)∵cos 167°＝cos(90°＋77°)＝－sin 77° ∴原式＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77° ＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－ 1 2 . 题型二 给值求值 【例2】 已知 0＜β＜ π 4 ， π 4 ＜α＜ 3π 4 ，cos π 4 －α ＝ 3 5 ，sin 3π 4 ＋β ＝ 5 13，求 sin(α＋β)的值． 解 ∵ π 4 ＜α＜ 3π 4 ，∴－ π 2 ＜ π 4 －α＜0. ∴sin π 4 －α ＝－ 1－ 3 5 2＝－ 4 5 . 又∵0＜β＜ π 4 ，∴ 3π 4 ＜ 3π 4 ＋β＜π， ∴cos 3π 4 ＋β ＝－ 1－ 5 13 2＝－ 12 13， sin(α＋β)＝－cos π 2 ＋α＋β ＝－cos 3π 4 ＋β － π 4 －α ＝－cos 3π 4 ＋β cos π 4 －α －sin 3π 4 ＋β sin π 4 －α ＝－ － 12 13 × 3 5 － 5 13 × － 4 5 ＝ 56 65. 规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、 拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是： (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． 【训练 2】 已知π 2 ＜β＜α＜ 3π 4 ，cos(α－β)＝ 12 13，sin(α＋β)＝－ 3 5 ，求 sin 2α 的 值． 解 ∵ π 2 ＜β＜α＜ 3π 4 ， ∴0＜α－β＜ π 4 ，π＜α＋β＜ 3π 2 . ∴sin(α－β)＝ 1－cos 2 α－β ＝ 5 13
cos(a+ B) sin a+B= sin 2 a=sin[( a-B)+(a+ B)] sin(a-B)cos (a+B)+cos(a-B)sin(a+B) 5 13 (0+1×(- 互动 探究题型三给值求角 【探究1】已知A,B均为钝角,且sinA=y,sin 求A+B的值 解∵A,B均为钝角,且sinA=y,sinB 10 . COS sin2 a 5 COS -sin b= '. COs (A+B=cos Acos B-sin Asin B N5. 3v10, y5. 10 v2 又∵<AⅡ,一<π,∴π<A+B<2丌, ∴A+B 【探究2】已知00=0(+)=-1且a、p∈(0 买),求B的值 解 B 且cosa=,cos(a+B) . sin a sm(a+)=y-0+-5 又∵B=(a+B)一a cos B=cos[( a+ B)-a=cos( a+ B)cos a +sin(a+ B)sin a √451 1471472
cos(α＋β)＝－ 1－sin2 α＋β ＝－ 4 5 . ∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝ 5 13× － 4 5 ＋ 12 13× － 3 5 ＝－ 56 65. 【探究 1】 已知 A，B 均为钝角，且 sin A＝ 5 5 ，sin B＝ 10 10 ，求 A＋B 的值． 解 ∵A，B 均为钝角，且 sin A＝ 5 5 ，sin B＝ 10 10 ， ∴cos A＝－ 1－sin2 A＝－ 2 5 5 ， cos B＝－ 1－sin2 B＝－ 3 10 10 ， ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝－ 2 5 5 ×(－ 3 10 10 )－ 5 5 × 10 10 ＝ 2 2 . 又∵ π 2 ＜A＜π， π 2 ＜B＜π，∴π＜A＋B＜2π， ∴A＋B＝ 7π 4 . 【探究 2】 已知 cos α＝ 1 7 ，cos(α＋β)＝－ 11 14，且 α、β∈ 0， π 2 ，求 β 的值． 解 ∵α、β∈ 0， π 2 且 cos α＝ 1 7 ，cos(α＋β)＝－ 11 14， ∴sin α＝ 1－cos 2α＝ 4 3 7 ， sin(α＋β)＝ 1－cos 2 α＋β ＝ 5 3 14 . 又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝ － 11 14 × 1 7 ＋ 5 3 14 × 4 3 7 ＝ 1 2 . 又∵β∈ 0， π 2 ，∴β＝ π 3
【探究3】已知cos(a-B)=12.cos(a+B)=12 π|,a+B e(2 ,2x,求B的值 解由a一B∈。, 12 cos( a 13 得sin(a-B) 由a+B∈ 2,且cos(a+B) 得sin(a+B) cos 2 B=cos[(a+B)-(a-B) =cos(a+B)cos( a-B)+sin(a+B)sin(a-B) 又:a+B∈/ 2Ⅱ,a-B∈一,π ∴2B=π,则B 规律方法1.解答此类题目的步骤为:第一步,求角的某一个三角函数值:第二步,确定角 所在的范围;第三步,根据角的取值范围写出所求的角.至于选取角的哪一个三角函数值 应根据所求角的取值范围确定,最好是角的取值范围在该函数的单调区间内. 2.选择求角的三角函数值的方法:若角的取值范围是0, 则选正弦函数、余弦函数均 可,若角的取值范围是(-2,2)则选正弦函数:若角的取值范围是(0,x),则选余弦 函数 课堂反馈 自主反馈,检测成效 课堂达标 1.sin75°等于() √6+V2 4 6-vE2 √6-V2 D 解析sin75=5m(0+45)=5m30°0545°+305145-1x×y2+5
【探究 3】 已知 cos(α－β)＝－ 12 13，cos(α＋β)＝ 12 13，且 α－β∈ π 2 ，π ，α＋β ∈ 3π 2 ，2π ，求 β 的值． 解 由 α－β∈ π 2 ，π ，且 cos(α－β)＝－ 12 13， 得 sin(α－β)＝ 5 13， 由 α＋β∈ 3π 2 ，2π ，且 cos(α＋β)＝ 12 13 ， 得 sin(α＋β)＝－ 5 13. cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝ 12 13× － 12 13 ＋ － 5 13 × 5 13＝－1. 又∵α＋β∈ 3π 2 ，2π ，α－β∈ π 2 ，π ，∴2β∈ π 2 ， 3π 2 . ∴2β＝π，则 β＝ π 2 . 规律方法 1.解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角 所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值， 应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内． 2．选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是 0， π 2 ，则选正弦函数、余弦函数均 可；若角的取值范围是 － π 2 ， π 2 ，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦 函数. 课堂达标 1．sin 75°等于( ) A. 6－ 2 4 B. 6＋ 2 4 C. 6－ 2 2 D. 6－ 2 2 解析 sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 1 2 × 2 2 ＋ 3 2