《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计 、教学分析 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究 具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中,教科书都把对照 比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较 cos(a-B)与cos(a+β),它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换 元的角度看都有内在联系,即a+B=a-(B)的关系,从而由公式C(a-B)推得公式C(a+), 又如比较sin(a-B)与cos(a-B),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函 数名的互化,利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(a-B)、S(a等 2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导,揭示了两角和、差的三角函数与 这两角的三角函数的运算规律,还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本 节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能 力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义 3.本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深 刻领会它们的这种联系,从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练 学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯 进行引导,例如在面对问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公 式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而 不顾过程表述的正确性、简捷性等,这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 三维目标 1.知识与技能:在学习两角差的余弦公式的基础上,通过让学生探索、发现并推导两角和与 差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公 式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力. 2.过程与方法:通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、 恒等证明,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高 学生分析问题解决问题的能力
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计 一、教学分析 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究 具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、 比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较 cos(α-β)与 cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换 元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式 C(α-β)推得公式 C(α+β)， 又如比较 sin(α-β)与 cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函 数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式 S(α-β)、S(α+β)等. 2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与 这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本 节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能 力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深 刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练 学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯 进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公 式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而 不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标 1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与 差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公 式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力. 2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、 恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高 学生分析问题解决问题的能力
3.情感态度与价值观:通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分 析能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质 三、教学重、难点 教学重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导 教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明 四、教学用具 三角板,彩色粉笔,幻灯片 五、教学方法 教法:引导探究,归纳总结 学法:合作讨论,自主学习 六、教学过程 1.导入新课 (问题导入)教师出示问题,先让学生计算以下几个题目,既可以复习回顾上节所学公式,又 为本节新课作准备.若sina=5,a∈(0,2),cosB=10,B∈(0,2),求cos(a B),cos(a+B)的值学生利用公式C(a-)很容易求得cos(a-B),但是如果求cos(a +β)的值就得想法转化为公式C《a-B的形式来求,此时思路受阻,从而引出新课题,并由 此展开联想探究其他公式 2.推进新课 提出问题 ①还记得两角差的余弦公式吗?请一位同学到黑板上默写出来 ②在公式C(-)中,角β是任意角,请学生思考角a-β中β换成角一B是否可以?此时观察 角a+B与a-(-B)之间的联系,如何利用公式Ca-B来推导cos(a+β)=? ③分析观察C(a+的结构有何特征? ④在公式C(a-B)、C(aB)的基础上能否推导sin(a+β)=?sin(a-B)=? ⑤公式S(-B、S(a+B的结构特征如何? ⑥对比分析公式C(a-)、C(a+)、S(a-)、S(a+B),能否推导出tan(a-β)=?tan(a+β)=? ⑦分析观察公式Ta-、T(a+)的结构特征如何? ⑧思考如何灵活运用公式解题?
3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分 析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质. 三、教学重、难点 教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 四、教学用具 三角板，彩色粉笔，幻灯片 五、教学方法 教法：引导探究，归纳总结 学法：合作讨论，自主学习 六、教学过程 1．导入新课 (问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又 为本节新课作准备.若 sinα= ，α∈(0, )，cosβ= ,β∈(0, ),求 cos(α- β),cos(α+β)的值.学生利用公式 C（α-β）很容易求得 cos（α-β），但是如果求 cos（α +β）的值就得想法转化为公式 C（α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由 此展开联想探究其他公式. 2．推进新课 提出问题 ①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来. ②在公式 C(α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察 角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式 C(α-β)来推导 cos(α+β)=? ③分析观察 C(α+β)的结构有何特征？ ④在公式 C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导 sin(α+β)=?sin(α-β)=? ⑤公式 S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？ ⑥对比分析公式 C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出 tan(α-β)=? tan（α+β）=？ ⑦分析观察公式 T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？ ⑧思考如何灵活运用公式解题？
活动:对问题①,学生默写完后,教师播放幻灯片,然后引导学生观察两角差的余弦公式 点拨学生思考公式中的a,β既然可以是任意角,是怎样任意的?你会有些什么样的奇妙想 法呢?鼓励学生大胆猜想,引导学生比较cos(α-β)与cos(a+β)中角的内在联系,学生 有的会发现a-B中的角β可以变为角-β,所以α-(-B)=a+β〔也有的会根据加减运算关 系直接把和角a+B化成差角a-(-B)的形式).这时教师适时引导学生转移到公式C(a-B)上 来,这样就很自然地得到 cos(a+B)=cos [a-(B)]=cos a cos(B)sin a sin(-B)=cos a cos B-sin a sin B 所以有如下公式: cos a + B)=cos a cos B in a sin B 我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作C(+ 对问题②,教师引导学生细心观察公式C(a+B的结构特征,可知“两角和的余弦,等于这两 角的余弦积减去这两角的正弦积”,同时让学生对比公式C(a-进行记忆,并填空:cos75° -COS 对问题③,上面学生推得了两角和与差的余弦公式,教师引导学生观察思考,怎样才能得到 两角和与差的正弦公式呢?我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢?学生可能有的想到 利用诱导公式(5)(6)来化余弦为正弦(也有的会想到利用同角的平方和关系式sin2a+cos2a 1来互化,此法让学生课下进行),因此有 丌 sin(a+B)=cos [2-(a+B)]=cos [(2-a)-B] =cos(2-a)cos B +sin(2-a)sin B sin a cos b +cos a sin B. 在上述公式中,B用-B代之,则 n(a-B)=sin [a+(-B)]=sin a cos(-B)+cos a sin(B)=sin a cos B-cos a sin B 因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为S(a+B)、S(a-) (a+B)=sin a cos B a sin B
活动：对问题①，学生默写完后，教师播放幻灯片，然后引导学生观察两角差的余弦公式， 点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想 法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较 cos(α-β)与 cos(α+β)中角的内在联系，学生 有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关 系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式 C(α-β)上 来,这样就很自然地得到 cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 所以有如下公式： cos( α + β )=cos α cos β -sinαsinβ 我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作 C(α+β). 对问题②，教师引导学生细心观察公式 C( α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两 角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式 C(α-β)进行记忆，并填空：cos75° =cos(_________)==__________=___________. 对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到 两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到 利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的会想到利用同角的平方和关系式 sin2α+cos2α =1 来互化，此法让学生课下进行),因此有 sin(α+β)=cos［ -(α+β)］=cos［( -α)-β］ =cos( -α)cosβ+sin( -α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中,β用-β代之，则 sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为 S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cos αsinβ
sin(a-B)=sin a cos B-cos 对问题④⑤,教师引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆,同时进一步体会 本节公式的探究过程及公式变化特点,体验三角公式的这种简洁美、对称美为强化记忆 2丌5丌 2丌.5丌 t COs 教师可让学生填空,如sin(θ+中) 对问题⑥,教师引导学生思考,在我们推出了公式C(a-B)、C(a+B、S(a+B)、S(a-)后,自然想 到两角和与差的正切公式,怎么样来推导出tan(a-B)=?,tan(a+B)=?呢?学生很容易想 到利用同角三角函数关系式,化弦为切得到在学生探究推导时很可能想不到讨论,这时教 师不要直接提醒,让学生自己悟出来 sin(a+6 sin cos 8+cos asin 8 当cos(a+B)≠0时,tan(a+B)=cos(a+ B)cos a cos.- sin asin 6 如果 cos a cos B≠0,即cosa≠0且cosB≠0时,分子、分母同除以 cos a coSβ得 tan a+ tan 8 tan(a+B)=1- tan a tant(-A),据角a、B的任意性,在上面的式子中,B用-B代之 则有 tan a+tan(-6 tan a-tan 8 tan(a-B)=1-tan atan(-B) 1+ tan a tan B 由此推得两角和、差的正切公式,简记为T-B)、T(a+By tan a+tan 8 tan(a+B)=1-tan atan 8 tan a-tan 8 tan(a-B)=1+ tan atan 6 对问题⑥,让学生自己联想思考,两角和与差的正切公式中a、β、a±β的取值是任意的 丌 吗?学生回顾自己的公式探究过程可知,a、β、a±β都不能等于2+kx(k∈Z),并引 导学生分析公式结构特征,加深公式记忆 对问题⑦⑧,教师与学生一起归类总结,我们把前面六个公式分类比较可得C(a+B)、S(a+)、 T(a+a)叫和角公式;S(a-)、Ca-B)、Ta-B叫差角公式并由学生归纳总结以上六个公式的推导
sin(α-β)=sinαcosβ-cos αsinβ. 对问题④⑤，教师引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会 本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆， 教师可让学生填空,如 sin(θ+φ)=___________，sin =_____. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式 C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想 到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出 tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想 到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教 师不要直接提醒，让学生自己悟出来. 当 cos(α+β)≠0 时，tan(α+β)= 如果 cosαcosβ≠0,即 cosα≠0 且 cosβ≠0 时,分子、分母同除以 cosαcosβ得 tan(α+β)= ，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之， 则有 tan(α-β)= 由此推得两角和、差的正切公式，简记为 T(α-β)、T(α+β). tan(α+β)= tan(α-β)= 对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的 吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于 +kπ(k∈Z)，并引 导学生分析公式结构特征，加深公式记忆. 对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得 C(α+β)、S(α+β)、 T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导
Ta+an I佃a- 过程,从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图,深刻理解 它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌 握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式 tana+tan B=tan(a+B)(1-tan a tan B), tan a-tan B=tan(a-B)(1+tan a tan β),在化简求值中就经常应用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美对于两角 和与差的正切公式,当tana,tanB或tan(a±β)的值不存在时,不能使用Tp处 理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简tan(2-B),因为tan2的 (-6) cos 8 cos( 值不存在,所以改用诱导公式tan(2-B)=2 来处理等 应用示例 3 例1已知sina=5,a是第四象限角,求sin(4-a),cos(4+a),tan(4-a)的值 活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明 确要求.再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本 题中,要先求出cosa,tana的值,才能利用公式得解,本题是直接应用公式解题,目的是 为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立完成 解:由sina=5,a是第四象限角,得cosa
过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解 它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌 握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角 和与差的正切公式，当 tanα，tanβ或 tan（α±β）的值不存在时，不能使用 T（α±β）处 理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简 tan( -β)，因为 tan 的 值不存在，所以改用诱导公式 tan( -β)= 来处理等. 应用示例 例 1 已知 sinα= ,α是第四象限角，求 sin( -α),cos( +α),tan( -α)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明 确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本 题中，要先求出 cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是 为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成. 解：由 sinα= ,α是第四象限角，得 cosα=