2o+中3 (4.2.15) ar h 用完全相同的计算方法,我们可以推导出(的差分表达式 °自、,b(2-)+h(4-) h2b2(h2+h4) (4.2.16) 当采用等步长h2=h=h时,有 )。-24+ 4.2.17) 将公式(4.2.14)和(4.2.16)两式代入方程(4.2.13),我们就得到该方程的差分表达式为 (Vp)= h3-)+h(的一9),h(2-)+h(4 h,h,(h,+h) +J69=9 (4.2.18) h2h2(h2+h4) 如果在x和y方向的步长分别相等,即h=h=h和h==时,则上式化为 1-2+g3 2+4+04=4 (4.2.19) 一般可以用角标来表示节点的标记,将上式写为
∂ φ ∂ φ φφ 2 2 0 x 1 0 2 h 2 3 （4.2.15） x ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ ≈ − + . 用完全相同的计算方法，我们可以推导出 ∂ φ∂2 2 0 y ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ 的差分表达式： ∂ φ ∂ φφ φφ 2 2 0 42 0 24 0 24 2 4 2 y h h hh h h ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ ≈ −+ − + ( )( ) ( ) . （4.2.16） 当采用等步长hhh 2 4 = = y时， 有 ∂ φ ∂ φ φφ 2 2 0 2 04 2 2 y hy ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ ≈ − + . （4.2.17） 将公式（4.2.14）和（4.2.16）两式代入方程（4.2.13），我们就得到该方程的差分表达式为 000 4242 042024 3131 031013 0 2 )( )()( )( )()( 2)( qf hhhh h h hhhh h h ⎥ =+⎦⎤ ⎢⎣⎡ + −+− + + −+− =∇ φ φφφφφφφφ φ （4.2.18） 如果在 x 和 y 方向的步长分别相等， 即hhh 1 3 = = x 和h h h 2 4 = = y 时，则上式化为 φ φφ φ φφ φ 1 03 2 2 04 2 00 0 − + 2 2 + − + + = h h f q x y ， （4.2.19） 一般可以用角标来表示节点的标记，将上式写为 11
9y-29%y+9-u)+2(9-20+9)+,=9y, (4.2.20 特别是当h=h=h时,我们得到: u+9+A1++(计-41,=1q (4.2.21) ∫=0的时候方程(4.2.6)为泊松方程,由(4.2.21)式得到 ++p-1+9+1+9-1-4,=hq,, (4.2.22) f=q=0的时为拉普拉斯方程,从(4.2.21)式得 p+1y+p-1+p y i,-1 4 , (4.2.23) 边界条件的离散化的处理: 若场域的网络节点都落在边界G上,则显然无需再做处理。但是在一般情况下,边界G是不规则 的。网络节点不可能全部都落在边界G上。对(4.2.3)式给出的第一类边界条件,通常有两种处理办 一种是所谓的直接转移法,如果0节点靠近边界,则取最靠近0点的边界节点上的函数作为0 点的函数值。这是一种比较粗糙的近似。另一种方法是较为精确的线性插值法。对第二、三类边界条 件也可以用插值法求出临近边界节点上的函数值
1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 h h f q x i j ij i j y ij ij ij ij ij ij ( ) ( ) φ φφ φ φφ φ +−+− , , , , , , ,, −+ + −+ + = , ， (4.2.20） 特别是当hhh x y = = 时，我们得到： , , （4.2.21） φφφφ φ i j i j ij ij ij ij ij h f hq +− +− 11 11 ++++ − = 2 2 4 , ,, , , , ( ) f = 0的时候方程（4.2.6）为泊松方程，由（4.2.21）式得到 φφφφ φ i j i j ij ij ij ij +− +− 11 11 +++−= h q , ， （4.2.22） 2 , ,, , , 4 f q = = 0的时为拉普拉斯方程，从（4.2.21）式得 φ i j i j ij ij ij +− +− 11 11 , ,, , , + φ + φ + φ − 4 0 φ = ， （4.2.23） 边界条件的离散化的处理： 若场域的网络节点都落在边界 G 上，则显然无需再做处理。但是在一般情况下，边界 G 是不规则 的。网络节点不可能全部都落在边界 G 上。对(4.2.3)式给出的第一类边界条件，通常有两种处理办 法。 一种是所谓的直接转移法，如果 0 节点靠近边界，则取最靠近 0 点的边界节点上的函数作为 0 点的函数值。这是一种比较粗糙的近似。另一种方法是较为精确的线性插值法。对第二、三类边界条 件也可以用插值法求出临近边界节点上的函数值。 12
(1)第一类边界条件 在二维情况下,第一类边界条件如公式(4.2.3)所示。如果网格的边界节点恰好落在边界G上, 则显然无需再做近似处理,边界节点的函数值就等于边界条件(4.2.3)给出的函数值。但是一般情况 下网格边界节点不在边界上,我们通常用以下三种方法处理。 (a)直接转移法 在图(42.4)中网格是按正方形分割,步长为h。0点为靠近边界G的一个网格节点,1和2为边 界节点。我们取最靠近0点的边界节点1上的函数值作为0点的函数值。即取≈中。这种方法称为 直接转移法,又称为零次插值法。 图(4.2.4)场域的第一类边界条件
（1）第一类边界条件 在二维情况下，第一类边界条件如公式(4.2.3)所示。如果网格的边界节点恰好落在边界 G 上， 则显然无需再做近似处理，边界节点的函数值就等于边界条件(4.2.3)给出的函数值。但是一般情况 下网格边界节点不在边界上，我们通常用以下三种方法处理。 （a） 直接转移法 在图(4.2.4)中网格是按正方形分割，步长为 。0 点为靠近边界 G 的一个网格节点，1 和 2 为边 界节点。我们取最靠近 0 点的边界节点 1 上的函数值作为 0 点的函数值。即取 h φ ≈ φ10 。这种方法称为 直接转移法，又称为零次插值法。 图(4.2.4)场域的第一类边界条件 13