4.2有限差分法和偏微分方程 利用上节所介绍的微分的差分表示,我们就很容易地将微分方程离散化为差分方程组的形式。但 是由差分方程所得的解完全取决于待求微分方程的特性。正如我们在物理上所知道的,边界条件的情 况变化将会引起差分方程组的不同。在求解微分方程中,我们会遇到两类问题:一类是初始值问题; 另一类是边值条件的问题。在初始值问题中,部分边界上的函数值和部分的函数偏导值是给定的。通 常在这类问题中的独立变量之一是时间t。在边界值问题中,边界上的信息是给定的。本书中我们仅 讨论后一类问题。 假定某方程形式上可以写为: Lo=q 其中L为含偏微商的算符. 它的边界条件一般可写为 p6书8(0 ah6=82() (4.2.2) G表示场域D的边界,g(5).g(5)为边界上s点的逐点函数
4.2 有限差分法和偏微分方程 利用上节所介绍的微分的差分表示，我们就很容易地将微分方程离散化为差分方程组的形式。但 是由差分方程所得的解完全取决于待求微分方程的特性。正如我们在物理上所知道的，边界条件的情 况变化将会引起差分方程组的不同。在求解微分方程中，我们会遇到两类问题：一类是初始值问题； 另一类是边值条件的问题。在初始值问题中，部分边界上的函数值和部分的函数偏导值是给定的。通 常在这类问题中的独立变量之一是时间 t。在边界值问题中，边界上的信息是给定的。本书中我们仅 讨论后一类问题。 假定某方程形式上可以写为： L q φ = . (4.2.1) 其中L为含偏微商的算符． 它的边界条件一般可写为： ).(|)(| 1 2 sg n sg G + G = ∂∂φ φ (4.2.2) G 表示场域D 的边界， 为边界上 s 点的逐点函数。 )(),( 21 sgsg 6
三类边界条件 (1)第一类边界条件,或称为狄利克莱 (Dirichlet)问题(g1=0.g2≠0)。 p=8() (4.2.3) (2)第二类边界条件,或称诺伊曼( Neumann)问题(g1≠0,82=0) l=g(3) (4.2.4 (3)第三类边界条件,或称混合问题(81≠0.g2≠0)。 对于算符L为斯杜-刘维尔( Sturm- Liouville)算符的特定情况,即 L≡-V(pV)+f .2.5) 公式中的p和f是给定的函数。我们将会得到一类很重要的微分方程。它是在流体力学、等离子物 理、天体物理…等学科中,势函数起关键作用的许多问题当中的基本方程。当p=1,f=0时,我们得 到(4.2.1)式的特殊情况一泊松( Poisson)方程。 我们现在考虑方程(4.2.1)中p为常数的二维的情况,我们可以得到下面的方程: +f(r, y)o=gr, y) (4.2.6) 设函数φ在区域D内满足方程(4.2.6)式(区域D的边界为G)
三类边界条件： （1）第一类边界条件，或称为狄利克莱(Dirichlet)问题(, ) g g 1 2 = 0 0 ≠ 。 sg ).(| φ G = (4.2.3) （2）第二类边界条件，或称诺伊曼(Neumann)问题(, ) g g 1 2 ≠ 0 0 = 。 sg ).(| n G = ∂ ∂φ (4.2.4) （3）第三类边界条件，或称混合问题(, ) g g 1 2 ≠ 0 0 ≠ 。 对于算符L为斯杜-刘维尔(Sturm-Liouville)算符的特定情况，即 L pf ≡ −∇( ) ∇ + . (4.2.5) 公式中的 p 和 f 是给定的函数。我们将会得到一类很重要的微分方程。它是在流体力学、等离子物 理、天体物理…等学科中，势函数起关键作用的许多问题当中的基本方程。当 p=1, f=0 时，我们得 到（4.2.1）式的特殊情况—泊松(Poisson)方程。 我们现在考虑方程(4.2.1)中 p 为常数的二维的情况，我们可以得到下面的方程： ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ φ 2 2 2 2 x y ++ = f xy qxy ( , ) ( , ). (4.2.6) 设函数φ 在区域D 内满足方程（4.2.6）式(区域D的边界为 G)。 7
区域D的离散化: 即通过任意的网络划分方法把区域D离散为许许多多的小单元。原则上讲这种网格分割是可以任 意的,但是在实际应用中,常常是根据边界G的形状,采用最简单,最有规律,和边界的拟合程度最 佳的方法来分割。常用的有正方形分割法和矩形分割法(如图4.2.1)。有时也用三角形分割法(见 图4.2.2)。对圆形区域,应用图(4.2.3)所示的极网络格式也许更方便些。这些网络单元通常称 为元素,网络点称为节点。 4.2.1求解区域的矩形分割。4.2.2求解区域的三角形分割。4.2.3求解区域的极网络分割
区域 的离散化： D 即通过任意的网络划分方法把区域 离散为许许多多的小单元。原则上讲这种网格分割是可以任 意的，但是在实际应用中，常常是根据边界 G 的形状，采用最简单，最有规律，和边界的拟合程度最 佳的方法来分割。常用的有正方形分割法和矩形分割法（如图 4.2.1）。有时也用三角形分割法（见 图 4.2.2）。对圆形区域，应用图（4.2.3）所示的极网络格式也许更方便些。这些网络单元通常称 为元素，网络点称为节点。 D D 0 x y D 0 x y 4.2.1 求解区域的矩形分割。 4.2.2 求解区域的三角形分割。 4.2.3 求解区域的极网络分割。 8
用节点上的函数值来表示节点上偏导的数值。 设区域内部某节点0附近的各节点如图4.1.1所示。这里我们取步长h不相等的最一般情况。以 ,p,2,y,分别代表在节点0,1,2,3,4处φ的函数值。如前所述,0点的一阶偏导数可以通过先 前或向后的差商,由1和3节点近似写出 y)-4 (4.2.7) 或 9o- h (4.2.8) 显然这种单侧差商的误差较大。 如果要寻求更精确的差分格式,我们可以引入待定常数α,β,由叭和ψ的泰勒展开,构造出如下的 关系式 a(9-)+B(.2-.)=/) (a-)+,) (mn2+12)+ (4.2.9) 令(2项的系数为零,则得到a和之间应当满足 (4.2.10)
用节点上的函数值来表示节点上偏导的数值。 设区域内部某节点 0 附近的各节点如图 4.1.1 所示。这里我们取步长 h 不相等的最一般情况。以 φ 0123 ,,,, φ φ φ φ 4 分别代表在节点 0，1，2，3，4 处 φ 的函数值。如前所述，0 点的一阶偏导数可以通过先 前或向后的差商，由 1 和 3 节点近似写出 ∂φ ∂ φ φ x h ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ − 0 1 0 1 . （4.2.7） 或 ∂φ ∂ φ φ x h ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ − 0 0 3 3 . （4.2.8） 显然这种单侧差商的误差较大。 如果要寻求更精确的差分格式，我们可以引入待定常数 α , β ，由 φ 1 和 φ 3 的泰勒展开，构造出如下的 关系式： ( ....) 2 1 )()()( 2 3 2 1 0 2 2 31 0 01 03 ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ +− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =−+− hh x hh x βα ∂ φ∂ βα ∂ ∂φ φφβφφα （4.2.9） 令 ∂ φ ∂ 2 2 0 x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 项的系数为零，则得到 α 和 β 之间应当满足 α β = − h h 3 2 1 2 . （4.2.10） 9
将公式(4.2.10)带入(4.2.9),并舍去高阶项,得到的另一个差分表达式 )3(4-)-h(-) h h,(h,+h, (4.2.11) 当选用等步距h=h=h2时,上式成为 c)1-g3 ax (4.2.12) (此为中心差商表达式。) 阶偏导数的差分表达式(“五点格式”或“菱形格式” 在(42.9)式中,如果令(的系数为零,则有a和间存在关系式 B h (4.2.13) 将上式(4.2.13)代入(4.2.9)式中,并忽略h三阶以上的高次项,则得到表达式: 3)、,h(p-90)+h(中3-9) h,h, (h,+h3) (4.2.14) 当用等步长h=h=h2时,上式成为
将公式（4.2.10）带入（4.2.9），并舍去高阶项，得到 ∂φ ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 0 的另一个差分表达式 ∂φ ∂ φφ φφ x h h hh h h ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ −− − + 0 3 2 10 1 2 3 0 13 1 3 ( )( ) ( ) . （4.2.11） 当选用等步距hhh 1 3 = = x 时，上式成为 ∂φ ∂ φ φ x hx ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ − 0 1 3 2 . （4.2.12） （此为中心差商表达式。） 二阶偏导数的差分表达式（“五点格式”或“菱形格式”） 在（4.2.9）式中，如果令 ∂φ ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 0 的系数为零，则有 α 和 β 间存在关系式： α β = h h 3 1 . （4.2.13） 将上式（4.2.13）代入（4.2.9）式中，并忽略 h 三阶以上的高次项，则得到表达式： ∂ φ ∂ φφ φφ 2 2 0 31 0 13 0 13 1 3 2 x h h hh h h ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≈ −+ − + ( )( ) ( ) . （4.2.14） 当用等步长hhh 1 3 = = x 时，上式成为 10