D0I:10.13374/i.is8n1001-053x.1984.02.013 北京钢铁学院半报 1984年第2期 脱碳动力学随机微分方程解过 程的转移概率密度 第一数学教研室秦明达杜才难 摘 要 文中由带随机系数的脱碳动力学方程求出了相应的Fokker-一Planck方程，求解得到了脱碳随机过程的 转移概率密度函数，从而论证了该过程是一个Gau5s一Mar kovi过程。本文最后还提出了将所求得的转移概率 密度应用于转炉炼钢过程后期终碳控制的某些设想。 主要符号说明 k:容量传质系数（或K的均值)， K, 随机容量传质系数， C、C。钢水随机含碳量和随机初始碳量， B(t) Brown运动过程（或Wiener过程）， Di B(t)的扩撒系数之半， t、t。冶炼初始时刻和终吹时刻； t1、tz第1、2阶段交界点和第3、4阶段交界点， c1、c2与t1、t,相应的碳值， t'、c'吹炼后期的某时刻及其相应的钢水含碳量的取值， aa(x',t)n阶增量矩； a(x',t)n阶导出矩影 f(x,tx/,t/) 已知t'时过程X(t)取值x'转移到t时刻过程取值为x的转移概 率密度函数！ Φ(x,t|x',t') 相应于f(x,t|x',t')的条件特征函数 F(x,tlx',t) 相应于f(x,t|x',t)的转移概率分布函数影 E{C,tlc',t"}或a 条件期望函数， D{C,t|c',t"}或o条件方差函数， 8() 8函数1 F(•)、F-1() 付氏变换及付氏逆变换。 前 言 关于LD法炼钢过程中脱碳动力学随机模型的问题，〔1]、[2]中已做了一定的工 131
北 京 钢 铁 学 院 学 报 年 第 期 脱碳动力学随机微分方程解过 程的转移概率密度 第一 数学教研 室 秦 明达 杜才难 摘 要 文中由带随机系数的脱碳动力学方程求 出了相应的 一 方程 ， 求解得到了脱碳随机过 程 的 转移概率密度函 数 ， 从而论证了该过 程是一 个 一 过 程 。 本文最后 还 提 出了将所求得 的 转移概率 密度应用于转炉炼钢过程后期终碳控制的某些设想 。 主要符号说 明 容量传质系数 或 的 均值 ， 随机容量传质系数， 、 。 钢水随机含碳量和随 机初始碳量， 运动过程 或 过程 ， 的扩散系数之半， 。 、 。 冶炼初始时刻和终吹时刻， 、 第 、 阶段交界点和第 、 阶段交界点， 、 与 、 相应 的碳值， 尹、 尹 吹炼后期的某时刻及其相应 的俐水含碳量 的取值， ， ， 阶增量矩， 。 ， ， 阶导 出矩， ， ， ， ， 已知， 时过程 取值， 转移到 时刻过程 取值为 的转移概 率密度 函数， 中 ， ， ， ， 相应于 ， ， ， ， 的条件特征 函数， ， ， ， ， 相应于 ， ， ， ， 的转移 概率分 布 函数， 川 ， ， ， 或 条件期望函数， ， 卜护， 尹 或 条件方差 函数， 色 一 一 、 一 一 乃函数， 付氏变换及付 氏逆变换 。 启斤 目幼 巨 关于 法炼钢过程 中脱碳动力学随机模型的 问题 ， 〔 〕 、 〔幻 中 已做 了一定 的工 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1984．02．013
作。特别是[2]中已将模型推广到系数1(i=1,:2,3)为平方可积随机过程的情形。 为简单和实用起见，本文仅限于讨论k:(i=1,2,3)为二阶矩随机变量（即E{K:2}<∞） 的下述模型： (-K:tdt+dB(t),tost<tI,C(to)=Cor dc(t)= -K:dt+dB:(t),tist<t:* (1) (-K,C(t)dt+dB,(t),ta≤t≤t. 其中to为初始时刻，其余符号与[2]中一致。 本文中研究随机模型解过程统计性质的方法与C1]、[2]中不同，可以不必去解(1) 式中三个分段的It6方程，也不必进行解过程的矩函数的复杂计算，而直接由模型(1)导 出相应的Fokker-一Planck方程（即所谓“向前方程”，简称F一P方程），这是一个确定 性的偏微分方程，在一定的初始条件和边界条件下求解，即可得到脱碳过程C(t)的转移概 率密度函数f(c,t|c',t'),由此便可获得大量有用的统计信息。这种方法与1]、[2] 中所运用的矩函数方法相轴相成，在随机过程和随机微分方程的理论和应用上具有重要的 意义。它对于处理非随机系数的It6方程是可行和有效的，这已为人们所熟知。但是，对 于象(1)式中的三个方程那样带有随机系数的It6方程来说，这种方法的可行性至今在一 般专著和文献中很少进行系统的讨论。因此，本文旨在通过模型(1)的F一P方程的推导 和求解具体说明：转移概率密度的方法对于随机系数的t6方程同样适用，并且也是有效 的。当然，作为应用性的讨论，本文不可能过多地涉及随机系数t6方程的理论研究。这 方面已有的部分成果可参看[3]、[4幻、[5]、[6]。 一、模型（1)的F一P方程 首先注意到模型(1)中三个分段方程均属随机系数的It6方程，其一般形式为。 rdX(t,)=f(t,o,X(t,@))dt+g(t,o,X(t,o)dB(t;), (2) 1X(o,o)=Xo(o),(oe)。 其中Xo满足E{Xo2}<∞，且Xo与dB(t)相互独立。为简单计，下面村论中都略写0。 设方程(2)的解过程为X(t),(x,t)是它的一阶密度函数。·由于条件密度函数与条 件特征函数之间有付氏变换关系：（令△x=x一x') f(x,t+△t|x',t)=F-1[b(u,t+△tlx',t)] eab(u,t+△tlx',t)du, (3) 2xo0 { 定义a.(x',t)合E{[X(t+△t)-X()|x',t,称它为X(t)的n阶增量矩，并在u=0 附近展开函数中为Taylor级数，则(3)式变成 i,t+at1,0-22器y。me加 =三，台1ax,6门。 (4) a=0 nl 但… 132
作 。 特别是 〔幻 中已将模型推广到系数 二 ， ， 为平方可积随机过程的 情 形 。 为简单和实用起见 ， 本文仅限于讨论 ， ， 为二阶矩随机变量 即 凡 艺 《 必 的下述模型 厂 一 ， “ ， ’ 。 ‘ ， ， ， “ “ 。 ’ “ 。 ， 二 一 ， ， ， ， ， ’ ‘ ‘ ，，，， ‘ 气 ’ 一 ， 《 咬 。 。 其中 。 为初始时刻 ， 其余符号与 〔幻 中一致 。 本文中研究随机模型解过程统计性质的方法与 仁 、 〕 中不 同 ， 可 以不必 去解 式 中三个分段 的 方程 ， 也不必进行解过程 的矩 函数的复杂计算 ， 而直接由 模型 导 出相应 的 。 一 。 方程 即所谓 “ 向前方程夯 ， 简称 一 方程 ， 这是一个确定 性 的偏微分方程 ， 在一定 的初始条件和边界条件下求解 ， 即可 得到脱碳过程 的转移概 率密度 函数 。 ， 尹 ， 尹 ， 由此便可获得大量有用的统计信息 。 这种方法与 〔 〕 、 〕 中所运用的矩函数方法相辅相成 ， 在随机过程和随机微分 方程 的理论 和应用上具有重要 的 意义 。 它对于处理非随机系数的 合方程是可行和有效的 ， 这 已为人们所熟知 。 但 是 ， 对 于象 式中的三个方程那样带有随机系数的 方程来说 ， 这种方法的可行性荃今在一 般专著和文献中很少进行系统的讨论 。 因此 ， 本文 旨在通过模型 的 一 方程 的推 导 和求解具体说明 转移概率密度 的方法对于随机系数 的 比方程 同样适用 ， 并且也 是 有 效 的 。 当然 ， 作为应用性的讨论 ， 本文不 可能过多地涉及随机系数 方程 的理论 研 究 。 这 方面 已有的部分成果可参看 〔 〕 、 〔 〕 、 〔 、 〔 〕 。 一 一 、 模型 的 一 方程 首先注意到模型 中三个分段方程均属随机系数的 合方程 ， 其甲般形式为 干圣 ’ ， “ 叮 ’ ‘ ， 吧 ’ ’ “ ， 。 ， ‘’ ， ‘ ， ‘” ‘ ’ ， 、 入 吸 ， 。 少 气 尹， 气。 已 ‘ 咨少 其 中 。 满足 。 恶 ， 且 。 与 相互独立 。 为简单计 ， 下面讨论 中都略写 。 设方程 的解过程为 ， ， 是它 的一 阶密度 函数 。 · 由于条件密度函数与条 件特征函数之间有付 氏变换关系 令△ 一 产 ， △ 尹 ， 一 ‘ 小 ， △ ， ， 之〕 劫 一 “ 一 ‘ △‘ ，· ‘ ， ” ‘ ， 定义。 二 ， ， 会 〔 ，、 △ 一 、 二 ， ， ， ， 称它 为 的 断 增量矩 ， 并 在 。 附近展开 函数中为 级数 ， 则 式变成 ， △ ， ， 艺 旦瓷尸了 ‘· ’ “ ’ “ 产 ’ ‘ 乙 △ 二 。 弋尘 · ‘ · ‘ ， ，，鑫 但
以frx,t (5) 将(4)式代入(5)式，运用8函数性质可得 f(x,t+t)=芝(-1)a n=o nI x [aa(x,t)f(x,t)] =i,+”g(,, (6) △ 定义a,(x,t)兰1ina（x,心，称它为X(t)的n阶导出矩，并将(6)式右端第一项移至左 t+0△t 端后，两边除以△t并取极限，可得 a1x [a(x,t)f(x,t)]=0 ⊙f(x,t)-艺（-1)°0 (7) ot 据[3]、[4幻，容易推知：方程(2)的解过程X(t)具有马氏性，并是连续的扩散 过程，因而当≥3时，导出矩 a.(x,t)=0.[7] (8) ,,又因X(t)为马氏过程，故转移概率密度函数满足Kolmogoloff方程： fx,tlx,t)-∫。,(xtlx,td: (9) (t1<t<t2) 于是只要转移概率密度函数(x,t|x',t')的一、二阶导数满足相应的正则条件，则必定也 要满足（7)，即 80-是a,,n+号2 2a [a2(x,t)f], (10) 其中a,(x,t)=1im1E([AX(t)]1X(t)=x",(i=1,2), .t+0△t0 (11) 由方程(2)可知 △X(t)=f(t,x)At+g(t,x)△B(t)+o(△t), (12) 代入(11)中可得 a(x,t)=1im}E{[f(t,x)△t+g(t,x)△B(t) at+0△tl (1) +o(△t)]川X=x},(i=1,2), (13) 于是，在某些独立性假定下，容易求得 a(x,t)=E{f(t,x)x=x }=E{f(t,o,x)}, (14) a,(x,t)=2DE{g2(t,o,x)},(2D为扩散系数)， (15) 方程(10)即为随机系数It6方程(2)所对应的F一P方程，形式上虽然与非随机系 数It6方程的F一P方程类似，但在确定导出矩a:(x,t)时，必须考虑系数F和g的随机性而与 后者有所不同。 现在具体求出模型(1)中三个方程相应的F一P方程。运用(14)、(15)式即可计算 出三个方程的一、二阶导出矩分别为 133
， △ 尹 ， 尹 ， 尸 ， 运用色函数性质可 得 ， 户 易上氏 △ 将 式代入 ， △ 一 不一万 ， 少 ， 夕 “ ， 艺 。 ， ， 〕 二 △ 定义 。 ， 。 生兰匹」丝 导石 △ 称它为 的 阶导 出矩 ， 并将 式右端第一项移至左 端后 ， 两边除 以△ 并取极限 ， 口 ， 口 一 ， ， 〕 据 〔 〕 、 〔 〕 ， 容易推知 方程 的解过程 具有马 氏性 ， 并是连续的扩敌 过程 ， 因而 当 》 时 ， 导 出矩 二 ， 。 〕 又 因 为马 氏过程 ， 故转移概率密度 函数满足 方程 ‘ 、 “ ’ “ ’ ‘ ’ ’ 夕 ， ， ， ， 于是只要 转移概率密度 函数 ， 尹 ， 尹 的一 、 二 阶导数满足相应 的正则条件 ， 则必定也 要满足 ， 即 日 口 一 蔺 一 一 二了， 宁 － 口 口 〔 ， 〕 ， 曰， ， 〕 。 ， 二一， 〔 ‘ △ △ 〕 又 ‘ ， ， 由方程 可知 △ ， △ ， △ △ ， 中可得 中 ， 其代入 ， △ 弓卜 。 ， ，犷份 〔 八 ， △ ， △ 少 ’ △ ‘ ， ， ， 子是 ， 在某些独立性假定下 ， 容易求得 ， ， ， ， ， ， ，。 ， ， 为扩散系数 方程 即为随机系数 合方程 所对应的 一 方程 ， 形式上虽然与非随 机 系 数 合方程 的 一 方程类似 ， 但在确定导 出矩 ， 时 ， 必须考虑系数 和 的随机性而与 后者有所不 同 。 现在具体求 出模型 中三个方程相应的 一 方程 。 运用 、 式 即可 计 算 出三个方程的一 、 二 阶导出矩分别为
导出矩 阶段 a(x,t) a2(x,t) 第一阶段 -kt 2D1 第二阶段 -k2 2D, 第三阶段 -k3c 2D, 其中k1=E(K1,2D为S.P.B(t)的扩散系数，(i=1,2,3)。 将表中α的值代入方程(10)中即得各阶段的F一P方程分别为 f (leutakD Ot oc 第一阶段 fi(c,tolco,to)=8(c-co)s (16) f1(±∞，t|co,ta)=0. 0,ce2=.股+D2, Ot 第二阶段 f:(c,tilc,t)=8(c-c1) (17) f2(±∞，tlc1,ti)=0. 0,c,e2-k是(ef,+D2, ot 第三阶段 fa(c,t:lc:,t2)=8(c-c2) (18) fa(±o∞，t|c2,tz)=0. 上述三个方程的边界条件的物理意义是假定在无穷远处概率流有一吸收壁。 二、F一P方程的求解 采用付氏变换法和Liouville方法解上面三个F一P方程[6]。 首先对于方程(16)求解。注意到转移概率密度函数f:(c,tc0,to)的付氏变换是条 件特征函数 (u,clco,to)=F [f(c,t]co,to)] eluf(c,tlco,to)dt (19) 在边界条件f,(士∞，tca,to)=0下，不难证明： F(), F(oe)=iu, F(:）=iut, F(ef,)=-20 (20) F(胎)=-. 于是将方程(15)进行付氏变换后变为 134
阶 段 一 一一 导 出 矩 一一 一 ， ， 第一 阶段 第二阶段 一 一 一 其中 ， ， ， ，为 ， 的扩散 系数 ， ， ， 。 将表中 ，的值代入方程 中即得各阶段 的 一 方程分别为 旦至凶叼 口 业旦过业 一 塑 一 卑乌‘ ， 。 。 ， 。 乙 一 。 ， 士 ， 。 ， 。 二 。 ‘了、 户 、夕， 、 第一 阶段 口 ， 。 ， 口 佘 豁 ， ， 色 一 ， 士 ， ， 二 。 ‘ 、 第一一 阶段 口 ， ， 口 晶 ‘ ·‘ 势 ， ， ， 各 一 ， 士 ， ， 。 几、 第二一 阶段 上述三个方程 的边界条件的物理 意义是假定在无穷远处概率流有一吸收壁 。 二 、 一 方程的求解 采用付 氏变换法和 方法解上面三个 一 方程 〔 〕 。 首先对 于方程 求解 。 注意到转移概率密度 函数 ， 。 ， 。 的付氏变换 是 条 件特征 函数 小 ， 。 ， 。 川 。 ， 。 〕 · ·’ ·’ ‘ ‘一 ” 一 ’ 。 ’‘ ’ 在边界条件 士 ， 。 ， 。 、 了气 了 ， 瓮 鲁 ， 。 爵 ‘· ‘ ‘ ， 。 口 ， 厂 ，二 户 、 口 ‘ 下 ， 不难证明 。 ， ‘ 岑生 】 二 击 。 一 、 一 丫 ‘ ’ 二 一 。 蚁口 一 小 。 于是将方程 进行付 氏变换后变为
20=(kt-Da4, (21) φ1(u,tolco,to)=F[6(c-co)]=euc·. (22) 此即一阶偏微分方程初值问题。用Liouville方法可写出方程(21)所对应的常微分方 程， dφ1 (ik ut-Du2)中，=dt, (23) 求解，并利用初始条件(22)可得特解为 =elu[ea-1/2ki(t1-to)]-D:u*(t-to) (24) 则 f(c,t|c0,ta）=F-1(中：)=F-1[eu[ea-1/2k(t-t)].e-D(t-t)u] C =8{e-[e-合k,-门*2e-D0-西 -{c-[ca-1/21(t-t。)]} 1 -2 =0 4D,(t-ta) ,(to≤t<t:), (25) 由(25)式右端可看出：第一阶段解过程C(t),(to≤t<t:)是一个Gauss过程，其 条件均值函数与条件方差函数[⑧]分别为 E(C,tleot )=ck) (ta≤t<t)。 (26) D{C,tlco,to }=2D1(t-to) 同理，可求得方程(17)的解为 fa(c,tlc,t=1e 4D:(t=t:) (27) 故第二阶段解过程C(t),(t,≤t<t2)也是一个Gaussi过程且条件均值函数和条件方差函数 分别为 Bcigtin,ain.aw. (28) 最后，求解方程(18)，在运用Liouville方法时，其计算过程相对前两个方程来说 要复杂一些。对方程(18)中F一P方程作付氏变换后，得 0中3=-kgu ot -Du2中s, (29) Ou 则对应的常微分方程组为 (30) 对方程 =品 积分，可得 =Ψ：e:,(Ψ：为任意函数) 135
鲁 ‘ · ，一 · “ ” ， 小 ， 。 。 ， 。 乙 一 。 〕 ， ‘ 。 此 即一 阶偏微分方程初值间题 。 用 。 方法可写 出方程 程 所 对 应 的 常 微 分 方 － 生座匕一一 二 一 “ 中 求解 ， 并利用 初始条件 可得特解为 小 ， ’ 一 ’ “ ’ 一 ，。 ’ 〕 一 ’ 一 ， ， 。 ， 。 一 ‘ 中 一 ’ ，“ “ 一 ’ ‘ “ ，’ 一 。 ’ 〕 · 一 一 。 “ ’ ， ， ， ， ， ， 、 一 ‘ 幻 一 一二 ‘ ‘ 一 气工 一 目一 常 一 二 艺 犷 一兀 一 一 一 二 如 气二二 斌 一兀 一 。 一 ， 一 。 〕 盆 一 一 。 《 由 式右端可看 出 第一 阶段 解过程 ， 。 成 是一个 过程 ， 其 条件均值函数 与条件方差 函数 〔 〕分别为 ， 。 ， 。 ， 。 ， 。 同理 ， 可求得方程 ， 。 。 一 音 ‘ 一 ，。 ” 一 的解为 《 “ 、 ’ ‘ ‘ ’ “ 石万不 蔺 一 〔 一 一 〕 ’ 一 一 故第二阶段 解过程 ， 《 也是一个 过程且条件均值函数和条件方差 函数 分别为 ， ， 一 一 ， ， 一 簇 。 最后 ， 求解方程 ， 在运用 妙 方法时 ， 其计算过程相对前两个方程 来 说 要复杂一 些 。 对 方程 中 一 方程作付 氏变换后 ， 得 鲁 一 · 瓷 一 · ’ ‘ ， 则对应 的常微分方程 组为 丝 卫生 一些戈 一一 一 中 对 方程 了 一 瓦不 一 积分 ， 可 得 甲 ， 甲 为任意函数