Chapter.6.Scattering 考虑方程(2-4)在P→0情况下的极限解. 令r→0方程(2-4)的极限形式为： d4+ku,r)=0 dr2 由此求得： u,(r）=Asin(ka+o) (2-5) 为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数 A=k、,= lπ +61 将(2-5)代入(2-2)，得到方程(2-1)在r→o∞情形下通解 的渐近形式：
11 Chapter.6 .Scattering 考虑方程（2-4）在 r →∞ 情况下的极限解. 令 r →∞ 方程(2-4)的极限形式为: 2 2 2 ( ) ( ) 0 l l d u r k u r dr + = 由此求得： ( ) sin( ) l l l u r = A′ kr +δ′ （2-5） 1 ( ) sin 2 l l l A R r kr l kr π δ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ r → ∞ 为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数 , 2 l l l l l A kA π = ′ δ = + δ ′ 将(2-5)代入(2-2)，得到方程(2-1)在 情形下通解 的渐近形式: r → ∞
Chapter.6.Scattering w(r,0) sin(cos0) kr 1=0 )(2-6) 另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数： r→0 w(r,0)= 1+2 e+f() (2-7) 为了比较6、7两式而求出f,将平面波e按球面波展开： e=ekrcos>(21+1)ij (kr)P(cos0) （2-8) 1=0
12 Chapter.6 .Scattering 0 1 ( , ) sin (cos ) 2 l l l l A r kr l P kr ψ θ π δ θ ∞= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ ∑ r → ∞ 1 1 ( ) ( ) 2 2 0 (cos ) 2 l l i kr l i kr l l l l A e e P ikr π δ π δ θ ∞ − + − − + = ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ （2-6） 另一方面,按上节的讨论,在远离散射中心处,粒子的波函数: 1 2 ( , ) ( ) ikr ikz e r e f r ψ θ ψ = +ψ + θ r → ∞ （2-7） 将平面波 按球面波展开: ikz e cos 0 (2 1) ( ) (cos ) ikz ikr l l l l e e l i j kr P θ θ ∞ = = = ∑ + （2-8） 为了比较6、7两式而求出 f
Chapter.6.Scattering 式中jkr)是球贝塞尔函数 j (kr)=2kr -sin (kr-zt e -i(kr- (2-9) 2ikr 利用(2-8)、(2-9)，可将(2-7)写成： 2ikr (2-10) (2-6)和(2-10)两式的右边应相等，即： (cos 0) o 2ikr 3
13 Chapter.6 .Scattering 式中jl(kr)是球贝塞尔函数 [ ] 21 ) 21 ) ( 21 i(kr lπ i kr lπ e e ikr − − − = − 1 2 1 1 ( ) ( ) sin 2 2 l l j kr J kr kr l kr kr π π + ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ r → ∞ (2-9) 利用(2-8)、(2-9)，可将(2-7)写成: （2-10） 1 1 ( ) ( ) 2 2 0 (2 1) ( , ) ( ) [ ] (cos ) 2 ikr l i kr l i kr l L l e l i r f e e P r ikr π π ψ θ θ θ ∞ − − − = + + − ∑ r → ∞ (2-6)和(2-10)两式的右边应相等,即: [ ] (cos ) 2 ) 21 ) ( 21 ( 0 θ π δ π δ l i kr l i kr l l l e e P ikr A − + l − − + l ∞=∑ −
Chapter.6.Scattering (2l+1w [e -ew l) P.cose 2ikr 分别比较等式两边e而和e而前边的系数，得（见P.180~181): 立4e5rp(es0)-20)+22I+0fe宁pes0) (2-11) (cOs))(cos0) (2-12) 用P,(cos0)乘以(12)式，再对9从0→π积分，并利用 Legradrer?多项式的正交性： ∫。P,(cos0)P,(cos)sin0d8= 2 21+1
14 Chapter.6 .Scattering θ θ π π [ ] cos 2 (2 1) ( ) ) 21 ) ( 21 ( 0 L i kr l i kr l l ikr l e e P ikr l i re f − − − ∞= − + = +∑ 分别比较等式两边 和 前边的系数,得(见书P.180～181): ikr e ikr e − 1 1 ( ) 2 2 0 0 (cos ) 2 ( ) (2 1) (cos ) l i l i l l l l l l l A e P ikf l i e P δ π π θ θ θ ∞ ∞ − − = = ∑ ∑ = + + （2-11） 1 1 ( ) 2 2 0 0 (cos ) (2 1) (cos ) l i l i l l l l l l l A e P l i e P δ π π θ θ ∞ ∞ − − = = ∑ ∑= + (2-12) 用 乘以(12)式,再对θ从 积分,并利用 Legradrer多项式的正交性: (cos θ ) Pl′ 0→π l l ll l P P ′ d ′ + = ∫ θ θ θ θ δ π 2 1 2 (cos ) (cos )sin 0
Chapter.6.Scattering 可以得到： -i(δ1 1 i-ln A =(21+1)ie 4=(21+1)i'e=(21+10e*) 即 (2-13) 将此结果代入(2-11)式： ∑(21+1e26P(cos0)=2f(0)+∑(21+1P(cos0) 1= fo)=2k(21+IMe-2@0) a221+ee*-e)Res0叭 (e sin (cos 0) k7=0 (2-14)
15 Chapter.6 .Scattering δ π i lπ l i l l A e l i e l 2 1 ) 21 ( = (2 + 1) 可以得到: − − 即 （2-13） ) 21( (2 1) (2 1) l l i l l i l A l i e l e π δ δ + = + = + 将此结果代入(2-11)式: (2 1) (cos ) 2 ( ) (2 1) (cos ) 0 2 0 θ θ θ δ l l l i l l e P ikf l P l ∑ ∑ ∞ = ∞ = + = + + (2 1)( 1) (cos ) 21 ( ) 2 1 θ θ δ l i l l e P ik f l = ∑ + − ∞= (2 1) ( ) (cos ) 21 1 θ δ δ δ l i i i l l e e e P ik l l − l ∞= = ∑ + − (2 1) sin (cos ) 1 0 δ θ δ l l i l l e P k l = ∑ + ⋅ ∞ = (2-14)