Chapter.6.Scattering 可见，求散射振幅f(0)的问题归结为求6，求6的具体值 关键是解径向波函数Rr)的方程(3-3) 6的物理意义： 由(2-8)和(2-9)知，a-(lπ/2)是入射平面波的第1个分波的位 相；由(2-6)知，[r-(1π/2)+6]是散射波第1个分波的位相。 所以，δ，是入射波经散射后第1个分波的位相移动（相移）。 微分散射截面： a00r-长空2- (2-15) 总散射截面： 0=∫q(0)dQ=2π∫q(0)sinu0
16 Chapter.6 .Scattering 可见,求散射振幅 f (θ ) 的问题归结为求δl ，求δl的具体值 关键是解径向波函数 R(r) 的方程(3-3) 由(2-8)和(2-9)知， 是入射平面波的第 l 个分波的位 相；由(2-6)知， 是散射波第l 个分波的位相。 所以， 是入射波经散射后第 l个分波的位相移动(相移)。 [kr − + ( 2 lπ ) δ l] kr −( 2 lπ ) l δ δ l 的物理意义： 微分散射截面: (2-15) 2 1 2 (2 1) (cos ) sin 1 ( ) | ( )| ∑∞ = = = + l l i l l l P e k q θ f θ θ δ δ ∫ ∫ 总散射截面: Q = q(θ )dΩ = 2π q(θ )sin θdθ
Chapter.6.Scattering in sin(cocino 1=01'=0 2δr 三22r+en如62年 1=01'=0 2小sm6 即0-e, (2-16) 式中：Q=经21+小sn6是第1个分被的散射燕面
17 Chapter.6 .Scattering δ δ θ θ θ θ π π δ δ l l e P P d k l l l l i l l l l (2 1)(2 1) sin sin (cos ) (cos )sin 2 0 ( ) 0 0 2 ∑∑ ′∫ ′ − ∞ = ∞ ′ = ′ = + ′+ l l ll i l l l l l e k l l ′ ′ − ∞ = ∞ ′ = + = + ′ + ⋅ ′ ∑∑ δ δ δ π δ δ 2 1 2 (2 1)(2 1) sin sin 2 ( ) 0 0 2 l l l k δ π 2 0 2 (2 1)sin 4 ∑∞ = = + 即 ∑ （2-16） ∞ = = l 0 Q Ql 式中: l l l 是第 l 个分波的散射截面。 k Q δ π 2 2 (2 1)sin 4 = +
Chapter.6.Scattering 由上述讨论可以看出：求散射振幅f()的问题归结为求相 移6，而δ，的获得，需要根据U(r)的具体情况解径向方 程(2-3)求R(r),然后取其渐近解，并写为： 即可得到第1个分波的相移，由于每个分波都将产生相 移δ，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面， 这种方法称为分波法。 因为P(1①)=1，所以f0)的虚部是： tm/0-221+)sm8, 18
18 Chapter.6 .Scattering ) 2 sin( 1 ( ) l r l l kr kr R r + δ π = − →∞ 由上述讨论可以看出:求散射振幅 的问题归结为求相 移 ,而 的获得，需要根据 的具体情况解径向方 程(2-3)求 ,然后取其渐近解,并写为: l δ l δ U r( ) f ( ) θ ( ) R r l 即可得到第 l 个分波的相移，由于每个分波都将产生相 移 ，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面， 这种方法称为分波法。 l δ 因为Pl (1)=1,所以f(0)的虚部是: l l l k f = ∑ + δ ∞ = 2 0 (2 1)sin 1 Im (0)
Chapter.6.Scattering 故(2-16)又可写为： 4兀 Ar Imf(0) 此式称为光学定理， k 分波法的适用范围 分波法求散射截面是一个无穷级数的问题。从原则上 讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级 数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在 一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。 散射主要发生在势场的作用范围内，若以散射中心为心，以α 为半径的球表示这个范围，则r>时，散射效果可忽略不计。 由于入射波的第1个分波的径向函数，k)的第一极大值位 于r=l/k附近，当r较大时，1愈大，则 19
19 Chapter.6 .Scattering Im (0) 4 f k Q π 故(2-16)又可写为: = 此式称为光学定理. 分波法求散射截面是一个无穷级数的问题。从原则上 讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级 数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在 一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。 分波法的适用范围 散射主要发生在势场的作用范围内, 若以散射中心为心，以 a 为半径的球表示这个范围, 则 r > a 时，散射效果可忽略不计。 由于入射波的第 l 个分波的径向函数 的第一极大值位 于 r =l / k 附近，当 r 较大时，l愈大，则 l j (kr)
Chapter.6.Scattering r〉00 (r) 愈快 如果的第一极大值位于r-《>0,即1>知时，在 r≤α内，y的值很小。亦即第1个分波受势场的影响很 小，散射影响可以忽略，只有第个分波之前的各分波必须考虑。 所以，我们把分波法适用的条件写成l≤ka,而l≥ka 的分波不必考虑ka愈小，则需计算的项数愈小，当1>>ka 时，6，~6。这时仅需计算一个相移6，即足够了，ka足 够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能 散射，1≥ka的分波散射截面可以略去。（另见汪德新，量子 力学（第三版），P.335说明) 30
20 Chapter.6 .Scattering 如果 的第一极大值位于 ，即 时，在 内， 的值很小。亦即第 l 个分波受势场的影响很 小，散射影响可以忽略，只有第 l个分波之前的各分波必须考虑。 lj (kr) = > 0 kl r lj (kr) l k > a r a ≤ ( ) 0 l j kr r → ∞ 愈快. 所以，我们把分波法适用的条件写成 ，而 的分波不必考虑， 愈小，则需计算的项数愈小，当 时， 。这时仅需计算一个相移 即足够了， 足 够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能 散射， 的分波散射截面可以略去。(另见汪德新,量子 力学(第三版),P.335说明) l ≤ ka l ≥ ka ka l ~ 0 δ δ l k > > a 0 δ ka l ≥ ka